HERALD OF SCIENrp 157
BURNDY
LIBRARY
Chartered in 1?41
GIFT OF
Bern Dibner
/
/
■f ¥
} ' 'i
1 |
1 J
’ >/
I
/
i '?V
: U
/ '
/ /
l 8
\
RABDOLOGLE,
SEV NVMER ATIONIS
PER VIRGULAS
LIBRI DVO:
Cum Appendice de expeditifsi-
fimo Mvltiplicationis
PROMPTVARIO.
Quituis acceflit & Arithmetica
Localis Liber vnvs.
Kyiuthorc^j & Inventore Io an n e
Nepero, Barone^ Mer«
CHISfONII , &c.
S COTO#
ebinbvrgi ,
’ Excudebas %Ankm Hm, i6iy.
&
•r* v -'r; a
•: 'fi':.
, 5 ■ ^
v ' Ow
i #
'L/ /
■ 1 > *
v ,/ *• .i, vJL I
•• ■ * . . -f\ »•>- V ; - * ? >
• ’- ■> 1 *•- .i,’* ' ■ 'j 1 ' . . 1 ;
" ‘‘ ■; - ? V / .
•*• ■" i. V -* V. '<••• S-
:-o'va jauiij
■ A b;DI a viA
’ 1 f, : > AD, a‘i
onu
«O J ITA ? X X M a >£
* _ '"p n *
i 7 3 1*1 ti i l i - .. 11 tj, IU
, /j V ; • . J i 9 i' ■ .■ •. i
- ■■ s .' , '
J E ' t ...
I r l Z
- V-: >"-• ’ ;
: > ■-
. i*-. ■ %
- 'r/-©,.
■_ ~ i ;u ■ ' A - :-f
^ ■ /‘i
' .-A A . , k * r
'
,Y c/
- • S- X
• - .
^llmlrijlimo Viro
ALEXANDRO SETONIG
FERMELINODUNI
C O MI TI, FrvvEi, & Vr-
qvharti Domino,& e.
Supremo Regni
Scoti a CanccL
S.
Ifficuftatem
& prolixita¬
tem calculi
(Vir IUiu
ftriflime)cu-
/us ticdimn
plurimos a
Ma-
thematum deterrere folct, ego
femper pro viribus, & ingenii mo-
1T 2 dulo
Epist» Dedicat.
duloconatus fum e medio tollere.
Atque hoc mihi fine propofito,
Ln? Arithmorum canonem a me lon-
W 1 ' -
go tempore elaboratum fuperiori-
annis edendum curavi,qui re-
jc dis naturalibus numeris, & ope¬
rtionibus qua? per eos fiunt, diffi¬
cilioribus , alios fubftituit idem
praedantes per faciles additiones,
ftibftradiones,bipartitiones,& tri-
partitiones. Quorum quidem Lo-
garithmorum ipeckm aliam multo
pneftantiorem nunc etiam inveni¬
mus, & creandi methodum, una
cum eorum ufu (fi Deus longiorem
vita* & valetudinis ufuram concef-
fei it)evulgarefhtitimus:ipfam au¬
tem novi canonis fupputationem,
ob infirmam corporis noftri vale¬
tudinem, viris inhocftudii genere
verfatis relinquimus: imprimis ve - 1
ro dodiffimo viro D.Henricg
Briggio Lon din i publico Geo•
metrU Profeffori, & amico mihi
longe chariffimcv
Eptst, Dedicat.
Interea tamen in gratiam eorum
qui per iplbs numeros naturales
oblatos operari maluerint, tria alia
calculi compendia excogitavimus?
quorum primum efl per virgulas
numeratrices , quod Rabdolo-
g i a m vocamus: alterum vero
quod omnium pro multiplicatio-
neexpeditiflimum eft, per lamel¬
las in pyxide difpofitas, quam ob
id, OHultiplicationis promptuarium
non immerito appellabimus. Ter¬
tium denique per ^Arithmeticam
localem , qu^e in Scacchiae abaco
exercetur.
Ut autem libellum de Fa.
‘Brica & vsv virgularum publici
juris Facerem, hoc imprimis impu¬
lit , quod eas non Folum viderem
permultis ita placuiffe, ut jam fere
fint vulgares, & in exteras etiam
regiones deferantur: fed perla¬
tum quoque fit ad aures fneas hu¬
manitatem tuam mihi confuluif,
fe ut id ipFum facerem, ne forfan
f i illis
Epist* Dedicat.
illis alieno nomine editis,cum Vir-
gilio canere cogerer.
Hos ego verficnlos feci 3 8cc»
' 'V * \ T 1 ‘ ':. u t -j ’ - f • l • ; ^ i '{ ( { / ; ' 'Jf ‘f •") f i f $
Atque hoc tuas amplitudinis
amantiffimum confilium apud me
maximum pondus habere debuit:
& certe line eo vix unquam hoc
de virgulis opufculum(cui reliqua
duo adjunximus compendia ) in
lucem prodiilTet.
. Si quse igitur gratias a CMathe-
matum cultoribus ob hos libellos
debentur, eas omnes (tu Vir Cla-
rifsime) tuo tibi jure vendicas, ad
quem non modo ut patronum, fed
potius ut alterum parentem libere
tranfvolant : prasfertim quum ex.
ploratum habeam te meas illas vir¬
gulas tanti feciffe, ut non ex vul¬
gari materia, fed ex argento fieri
curaveris.
Accipe igitur sequo animo (Vir
Illuftrifsimc) hoc opufculum qua-
lecun^
Epist, Dedicat*
lecunque : cjufque licet tanto
Maecenate indigni, ut tui tamen
foetus patrocinium fufcipe: Sicut
& te Iuftitiae sequitatifque patro¬
num diu nobis & Reipublic^ in¬
columem fer vari enixe i D EO
optamus.
lOANNES NepERUS
M E RCH1 ST 0 N11 B A S 0>
r\ *» i ^ h .
avthori dignissimo.
JErgo id tam faciles numerorum ttfdia Iufus
Verfa , Mathematicos qui Latuereprihsl
Dum Loganthmas crit ; dum Virgula, Scacchia, Lamm s
Magnum erit ik nomen, magne Nepere, tuum.
Le cto ri Rabdologi^e*
’ :• - r *- * + \ t v\ *
Ardua qui numeras, quadratis utere virgis.*
MultipUc um quotum», qu<?is opus, inde Leges.
^Multiplica, atque feca, radices extrahe fidens;
Certa, cita, &c facilis, dixeris, ifta via eft.
Patricivs Sand^vs,
Ad Lectorem.
Multiplicare juvat, numeros vel fcinderc, Le&or?
Vr Jh&us fubitoprodeat, atque Quota*'.
Vel fi quadrati, radicem autnofcere Cubi?
Schematis \\ac proprium conftet ut arte Latus:
Sive Geometricas vis menfurare figuras?
Hicdifces celerem, perfacilemque viam.
Andre as Ivnivs.
ELENCHVS CAPIT VM»
ET VSVVM TOTIVS
OPERIS.
Liber primus Rabdologias,
Virgularum genere
de tifii
Cap. i.
T\E Fabrica, & infcripcione virgularum.
pagina e
Cap. ii. De numerorum ad virgulas ap¬
plicatione, & contra. pag, i®
De Multiplicatione. 1$
De Divifione. 18
De radicum extractione per lami¬
nam. sj
De extraCtione radicis quadratae.
De radicis cubic^ extraCtione. 29
De compendio pro extraCtione cu¬
bica. 3f
De regula Trium direCta, & inver-
fa. 38
in.
iv.
V.
vi.
vi u
VIII
IX.
Liber fecundus Rabdologi#, de ufa
Virgularum in Geometricis &
ebanicis ope Tabularum*
Cap. i, De Defcriptione Tabularum
cluentium. pag. 43
11, De
Elenchvs Capitvm.
ii* De inventione laterum, & quadratrj-
cu.m Polygonorum,per quatuor
Problemata. pag«4?
iii. De inventione quadratricum, & dia-
metrorum polygonorum, per
quatuor problemata. 5:3
iv. De inventione diametrorum,& late¬
rum polygonorum, per quatuor
problemata. 60
v. De lateribus 8c cubatricibus quinque
corporum regularium invenien¬
dis, per quatuor problemata* 67
Vr, De inventione cubatrieum, & diame¬
trorum regularium corporum, &
fphatrre per quatuor probiem; 71
Vr f * De diametris & lateribus quinq? cor¬
porum regularium inveniendis,
per quatuor problemata* > 77
Viir. De ponderibus & magnitudinibus
Metallorum & lapidu invenien¬
dis per quatuor problemata* 8s
De zJtyfnlttplicationif promptuario
9s4ppendix*
Cap.i. De lamellarum promptuarii fa¬
brica. pag 92-
1 r. De pyxidis, pro continendis lamellis,
ftrudiura* 98
311, De facili per promptuarium multi¬
plicatione. 301
iv. De divifione per promptuariam &
Tabulas. 108
ssfritb-
Eienchvs Camtvm,
Arithmetici loedis liber,
Cap.i, De deferiptione pertica 1 pro linea¬
li locatione, ijj
ir. De translatione vulgarium numero¬
rum in locales, 117
au# £>e redu&ione localium numerorum
ad vulgares. 120
iv. De abbreviatione & extenfione. 124
v. De additione, &■ fubilra&ione, cum
tranflationis & redu&ionis com¬
pendio. lijr
vr. De deferiptione abad, vel alvei,,
pro locatione areali. 129
vii. De motu areali calculorum in abaco.
vi 1 r. De axiomatis 5 & confe&ariis utri-
ufque motus in abaco. 133;
ix, De Multiplicatione. 137
x s DeDivifione. 144
xi. De extradione quadrata. 148
1
tenere folmt ab amore Mathcfeos, illa
Hoc parvo inveniet ejfe remota libro •
.o>
Fol. i
RABDOLOGI^
LIBER PRIMVS
De ufu VlRQVLARVM
numeratricium in genere.
C a P V T I*
T)e Fabrica , & infcriptione
Virgularum*
'
Ab do logia esi Ars
Computandi per Vir¬
gulas numeratrices .
Virgula autem nu¬
meratrices j funt vir -
gula quadrata , mobiles , ftmpltctum
notarum multiplis inficripta ,
fici lior es \_Arithmetica vulgaris ope *
rationes facile & expedite perficien¬
das *
Virgularum itaques confide rabi¬
mus Fabricam, & ufium.
A V a»
■
> . - ■ ,
%
Lxsia primvs*
Fabrica fic fit.
Piant ex argento,ebore, buxo, aut fimili
■* aliqua materia folida, virgula; quadrata
decem, pro numeris infra hunc nui
quinque locorum l velviginti, pro nume¬
ris infra hunc iiiiiiin nouem locorum:
vel triginta, pro numeris infra hunc
lliiiiiliim tredecim locorum,
Sintque omnes ejufdem longitudinis,
trium fcilicet digitorum plus minus. Et Iit
latitudo eujufque decima pars longitudi¬
nis, ut commode duas figuras arithmeticas
capere pofiit , altitudo etiam latitudini
sequetur. Atq.ue ha? quatitor factes feu la-j
tera ad angulos rectos tam accurate limen-
nir 5 utquomodocunque jungantur virguJ
lae,omnes quafi unica tabella plana videan¬
tur, His ita complanatis, dividatur earun-
dem longitudo in decem aequales partes :
sta tamen, ut novem integra? partes fint in¬
termedia, decima?aiitem partis dimidium
foperius pro fuperiore, & reliquum dimi¬
dium inferius pro inferiore margine con-
ftituatur. Proinde per fingula divifionum
pundta , ducanturredta? lineae, quae diltri-
buant lingulas /ingularum virgularum fa¬
cies, in novem areolas quadratas „ praeter.
margines : quarum quadibet bifecetur,
dudtis diagoniis, a finhtro & inferiore an-
gulo,ad fupeiioreni & dextrum,ut in fche-
mate inferius polito, videre cll Et ita para¬
tae funt virgula ad numerorum infcriPtio-
n e 1% ' . Pri-
Schema Vir -
vid& t
Capvt phimvm, ( ' 3
Primo itaque po¬
diis-ob oculos vir-
gulis , fignentur
( memoria? & do«
&rina? gratia ) ea-
rundem facies i a t
li a ,ni\& 1 111%
notis delebilibus
feis aut aliis juc pri¬
ma facies dicatur v
quae nunc ob ocu¬
los ponitur, fecun¬
da , qua? dextram
fpe&at 5 tertia, qua?
terram, & quarta,
quadsevam.
Secundo obfer-
vandumeft, quod
prima figura quae in
capite (eu prima
areola cujufque fa¬
ciei eft ponenda,&
in dextra parte are¬
olae fculpenda, fimplex figura eft , & (im¬
pium dicitur: qua? in fecunda areola fe»
quuntur^funt ejufdem figura duplum: qua:
in tertia areola triplum,qua? in quarta qua¬
druplum, &rficde reliquis multiplis ufque
ad noncuplum inclufiye : quorum fi quod
unica cantum figura conftec 5 iiia eft in dex¬
tra parce Tua» areolae fculpenda : fi vero
duabus, dextra dextrorfum, &la?vala?vor-
fum m areola fcribatur.
Tertio notandum eft , quod cujufqu®
A z virgu-
4 Liber primvs.
visgulas tertia facies femper primse , &
quarta fecunda opponatur,& quod earun-
dem fimpla non modo fic opponuntur, ut
alterum fit in fuperiore,alterum in inferio¬
re facie,vel alterum in dextra,alterum in fi-
niftra facie.Ted & alterum in capite 3 alte¬
rum in calce virgula? i atque horum duo¬
rum oppofitorum fimplorum aggregatum
femper conftituit novem, Vnde in poite-
rum vocamus eos numeros oppofites , quo¬
rum fumtna nullam figuram praeter nove¬
narios continet.‘quiafoli hi in virgulis op¬
ponuntur, His generaliter obferv2tis,pir-
ticularis Virgviarvm inferipeio fiefeha-
bet 4 ^
In inferiore &r dextra parte cujufque
areola? primae faciei,prima?,fecunda’, cerase
& quarta? virgularum, feribatur cyphra o,
& inverfis eifdem virgulis ( ut fic lingula-
rum caput, quod pridem calx, & lupra,
qaod pridem infra ) inferibatur in fingulis
novenarius,cum fu is multiplis videlicet 9,
54 f 63, 71, 81: modo fupra
dicto in generali methodo.
Deinde fimili modo in fecunda facie pri¬
mas virgula;,& prima facie quintas,fextas &
feptima? virgularum , inferibatur unitas
cumfuis multiplis,videlicet 1,2,3,4, 3, 6,
7,8,9 3 ordine defcendentia.*& inverfis eif¬
dem virgulis, inferibatur in fingulis odto-
narius cum fuis multiplis, fcilicet 8, 16 3 24,
32,40, 48, 36,64/,74.
Tertio in fecunda facie fecundas & quin-
tas virgularum,&prima facie o&avse & no-
Capvt hjmvm*
nae fculpatur binarius cum Tuis multiplis
fcilicet 2,4, 8, io, 12,14, 16, 18, & in~
verfis eifdem virgulis^infcribatur in fingu-
lis feptenai ius cum fu is multiplis,videlicet
7 ,14 21,28,35,42,49,56^63.
Proinde in fecundis faciebus tertiae, fex-
ta?,&o£ava? virgularum, & in prima facie
decimae, (culpatur ternarius ejufque multi¬
pla, fcilicet 3, 6, 9, iz, 15;, 18, 2 i, 24, 27;
& inver/is eifdem, fcribatur in finguiis le-
narius,& multipla ejusjvidelicet 6 >i 2, j 8,
24, 30, 3(1, 42,485 f 4 * ,
Denique in fecundis faciebus quarta*, re¬
primam nonae,& decima* virgularum 5 infcri-
batur quaternarius, cum fuis multiplis, vi¬
delicet 4. 8,12,1^,20,24, 28» 32, $6 : &
eifdem inverfis, fnfcribatur quinarius cum
fuis multipliSjvidelicet 5 3 10 15,20,25,30,
3 5,40,45, fervatis in omnibus his 3 legibns
fuperius generaliter prsefcriptis.
S cquuntur Schemata fuf er iorum
decem Virgularum habentium
quatior (ua4 fkcies evoluta* &
explicatas , ut facilius
intelliganiun
A 3.
Libe*, primys*
4 r . Factesjecuncbe virgulte.
0 2
*
/0
/2
A
A
/0
A
z/
A
/0
A
A
A
/o
A
A
A
/o
%/
/0
A'
A
/0
A
A
A
/o
A
A
A
/o
X
%
A
/o
i/
6/
A
tft.facies quarte vtnqulte.
o 4 _
/0
A
A
A
A
As
z /l
°A
/0
yi
A
A
/Q
A
A
°A
/0
2 /
/0
A
A
A
2/
/4
9 A
0/
/z
y s
A
A
A
A
M
°A
/0
H
6/
A
\
6- 9
C A P V T PRIMYM»
/j.VFacies g ntnite vwguLe
4?,Facus'Jextte viratdce.
t 3
A
/2
z A
£ A
A
/f
%
9 A
A
A
As
fi
A
A
%
A
/5
A
%
A
A
%/
/2
Z A
8/
/z
A
A
v/
/z
i/
/z,
As
A
A
A
A
i /
78
A
A
u—
i
i
8
/
4?. Facies Jejrtiirue vttgulcs.
' i 4
4?-Facies octavce vintuUe.
2 3
h 4
z o
8 £
* Libes pkimvs.
¥' 4- r facies nome vnguhe.
2 4
i
/2
A
X
X
A
A
%
°A
A
X
X
X
A
X
%
°/c
X °
X
2/
/0
X
X
l/
/2
A
X
o/
/z
A
X
£/
/i
X
X
/'l
X
X
X
X
X
/ X
4 ? Facies dccitme viraute.
3 4 **
w Habes ita.que jam decem virgulas nu¬
meris fuis commodiffime infcriptas , qua?
a uamvis aliter infcribi poffint, nullus ta-
leu iuanucua: mouus ett hoc locupie-
tior 5 vel qui tam paucis virgulis plures ex¬
primere poteft numeros : & enim non fo-
lum omnis numerus infra hunc mu
quinque locorum ( nullo excepto ) hifce
decem virgulis exprimi poteft, fed & nu¬
merus quilibet infra hunc ioooooooooo
undecim locorum,excepto numero, in quo
& cujus oppofito,quinque funt figura? ejuf-
dem fpeciei: aut o6lo figura? duarum fpe-
cierum: aut decem figura? trium ♦ Verum fi
cum omnibus numeris infra huc 1111 r 111 r
novem locorum (nullo omifto ) operari
defide-
defideras,-alias decem virgulas eadem arte,
qua has, fabricatas, his adjunge ; & hx- vi¬
ginti virgulas non folum omnem nume¬
rum infra profatum hunc ni i mu novem
locorum, (nullo excepto) fed & omnem
numerum expriment, quieft infra hunc
loooooooooooooooooooo viginti Sr
unius locorum, excepto numero, tn quo &
cuius oppofiro, novem fant figuras ejuidem
fpeciei: aut quindecim figuras duarum fpe-
cverum; aut novemdecim trium. Verum
fi adhuc ulterius, ad numeros triginta fi¬
gurarum progredi libuerit, poteris & his
addere tertiam viigularura decadem , ea¬
dem etiam arte, qua priores confirudbm.
Et has triginta virgulas non folum espri-
ment omnem numerum infra hunc
iiiiir/nini tredecim locorum (nullo
e;<cept^)fed & omne numerum infra hune
iooooooooooooooooaooooooooooooo
triginta Sc unius locorum, excepto nume¬
ro in quo & cujus oppofico, tredecim funt
figuras ejufdem fpeciei; aut viginti duae
figuras duarum fpede^um; aut viginti odo
figuras trium.
Casterumut facilius & citius virgulte,
qviibufcum tibi res eft,ex toto cumulo feli-
gantur; numerus fimplex qui in prima are¬
ola cujufque faciei infcnbitur, fculpatur
etiam in fummo vertice virgulas & faciei
ejufdem t fic enim aperta pixide , & vir¬
gulis eredis, atque adhuc in fafciculo ma¬
taribus, primo intuitu confpicies in ver¬
abas virgularum, quas virgulae optatas
A S notas^
vio. Lr*u p ri m vs*
potas, aut eis oppofitas habent: ha? enim,
dire&evel inverfira prafenti negotio tuo
infervient, & erunt tibi extrahenda.
Hactenus fabricam explicavimus j fe-
quitur ufus.
C A P V T II,
T>c numerorum ad Virgulas applicatione ,
& contra. "Tropofit io pri¬
ma. Troblcma i.
/*%BiaTVR numerum , cum fuis multiplis er*
^ dme^ in tabulam redigere.
Proponatur annus Domini 161 $. in ta¬
bulam debite cum fuis multiplis collocan¬
dus. Ex toto cumulo accipe quatuor vir¬
gulas 3 quarum una habeat in vertice uni¬
tatem fuprafcnptam, alia fenarium, tertia
unitatem, quarta quinarium : & politis
©b oculos earundem figurarum faciebus,
videbis in primis a^f olis quatuor virgula-
rumjfimplum numerum oblatumjin fecun-
disareolis duplum, in tertiis areolis fen
Eertio linearum intervallo triplum , in
quarto quadruplum, in quinto quintu-
p!um-& ita deinceps ad noncuplum, quod
in nono interfiicio linearum invenies.
Propositio II.
Capvt SECVNDVM. II
finguuntur, Vnde dua nota eiufdem rhom «
beidis funt eiufdem loci\ atque igitur addenda.
Vt tabulato anno Domini i 61$.in fuqa-
mo intervallo tabulae (per primam hujus)
in fecundo fe fponte offert ejufdem anni
duplum in quatuor locis, videlicet in pri¬
mo ejufdem rhomboide 2 & 1 (quibus ad¬
ditis fiunt tres ) & in fecundo rhomboide
2, in tertio rurfus 2 & I pro tribus fimili-
ter. Denique in fine o. Vnde pro integro
duplo didti anni exfurgit 3230.
Propositio III.
Q Vando fumma trafentis loci maior eft no-
^ uenario , tum mtnuta denario 3 quando
minor 3 integra referuetur: mtfenarii enim Hp-
fus yalor fequente propoftione^j innotefeet *
Exempli gratia, redigatur 166702458
in tabulam ( per primam hujus) & in noni
intervalli primo rhomboide a Ia?va offen¬
des 9 & quorum fummaeft 14 : ablato
igitur denario 3 refervetur in animo quater¬
narius pro primo exemplo. Sic in feptimo
rhomboide feptimi intervalli, pro fecundo
exemplo reperies 8 & 6 , quorum fumma
eff 14 •' rejedfis ergo decem referventur
quatuor. Atque hxc majorum locorum
exempla fuerunt; fequuntur minorum:
In primo itaque rhomboide tertii inter¬
valli, inveniuntur minora novenario 3 '&
i 3 pro tertio exemplo, quorum fumma 4
animo refervatur. Sic in primo ieu fini-
fbmo t ;loco vacuo fexti intervalli, flat nihil:
nihil
12 Liber frimvs.
nihil igitur animo refervetur pro quarto
exemplo. Item in Texto rhomboide fe¬
cundi intervalli, ftat quaternarius(minor
novenario) refervetur ergo quaternarius
pro quinto exemplo. Denique in quinto
rhomboide quarti intervalli, ftat cyphra
feu nihil: nihil ergo manet refervandum
pro fexto exemplo. Sic deciteris*
Propositio* IV.
Q Vando dextrorsum a loco referuat& ptm-
k m& , rhomboides maior nouenarto prtus
accurrit quam minor i fumma referuat a ini¬
tate aucla,integra tranficr/batur , (eum cjphris
pro fngulis novenariis intermedia , f qui fnt)
quando autem nsn , cum ipfis muenariis 3 fine
augmento.
Vt in primo Rhomeoioe noni inter¬
valli, fuperius refervabatur quaternarius
pro primo exemplo, poft cujus rhomboi-
dem fequitur dexcrorfum rhomboides ma¬
jor novenario J fcilicet4 &^,(qutefunt 10:)
pro quaternario ergo refervato, tranferi-
bendus eft quinarius. Item in primo rhom¬
boide tertii intervalli, pro tertio exemplo
refervabatur 4, poft cuius rhomboidem
(praeter novenarium ) fuccedit dextrorfum
rhomboides maior novenario , conftans
notis 8 & aj tranferibenda igitur funtpro
eo & fuo novenario $0. Sic in finiftimo
loco vacuo fexti intervalli, in quarto ex¬
emplo refervabatur nihil in animo: &dex-
trorfum ab hujus loco, (prater duos nove¬
narios)
s*/
Capvt secvndvm. 13
nanos) fucceffic rhomboides novenario
major, 6 & 4 feu io:augendum ergo erit
nihilum vnitate,&r pro nihilo cum duabus
cyphris, tranfcribenda erunt loo. Item
fuperius in feptimo rhomboide feptimi
intervalli, refervabatur quaternarius pro
fecundo exemplo, quem fequebatur im¬
mediate dextrorfum rhomboides non ma¬
ior novenario, fciiicet 3 & 4 , qua?funt8:
integer ergo quaternarius ed fine augmen¬
to tranferibendus, Item in fexto rhom¬
boide fecundi intervalli refervatus eftfu*
perius in quinto exemplo quaternarius, &
hunc rhomboidem fequebatur ( pra?ter
duos novenarios) fenarius(novenario fciii¬
cet haud maior : ) integer ergo & fine
augmento cranferibatur quaternarius cum
fuis binis novenariis fic , 45?$. Denique in
quinto rhomboide quarti intervalli, refer-
vabatur nihil pro fexto exemplo , cuius
rhomboidem fequebatur ( praeter tres no¬
venarios) binarius , qui (cum novenarium
non excedat) refervatum nihilum cum fuis
tribus novenariis abfque augmento feri-
benda effe arguit,hoc modo.o99pj& fic de
reliquis.
PropoS.V* Probl.II.
Blati fimplt Optdtum multiplum
^ decupfam invenire 3 & transcribere^
Cum doceat Prop. 3. quando nota? ta¬
bulata? funt minuenda? denario, & qus^io
non: &4,Prop. ©fteudat quando augend®
funt
14 Liber primvs.
funt vmtate,& quando non : nec alia ha¬
bent tabulata; a tranfcribendisdifcrimina,
facile eft, e notis tabulatis tranfcribendas
colligere,vel fola exemplorum fequentium
imitatione. Primi ergo exempli anni Do¬
mini i 6 i? } fint multipla tranfcribenda.
In primo intervallo(per primam hujus) lo¬
centur 16 1? quae {impium funt;in fecundo
fe offerunt z & i^j 2 & j 3 o,qua; funt 3230
pro didi anni duplo; in tertio 3 & i, 8, 3
& I, $ 5 qux funt 484? pro triplo ejufdem;
in quarto 4 & 2, 4, 4 & 2, o, eae funt
C\6o pro quadruplo^ in quinto 5 & 3,0,'?
&2,$, quae funt §07? pro quintuplo: in
fexto 6 & 3,6 3 <5 & 3,0, q.ua; funt 9690
pro fextupio: in feptimo 7 &4 5 2,7& 3,
-<f 5 quae funt 1130? pro fepcuplo : in oda-
v o interftitio 8 & 4, 8, 8 & 4, o, quae funt
129 2opro dati anni oduplo:in nono tan¬
dem interftitio funt 9 & & 4,5, quae
funt f 4? 3 <? P ro didi anni nocuplo.. Simi¬
liter fecundi exempli tabulati liabit m pri¬
mo feu fumnio tabulae intervallo i pfum
{impium 166702498. Quod infecundo
duplum eft, & fic legitur & tranfcribitur
333404996» E tertio triplum fictranfcri
bicur $oo107494* E quarto quadruplum
fic tranfcribitur 666809992. E quinto
quintuplum dati numeri fic tranfcribitur
8 3 3 f 12490» E fexto intervallo fcxtupluta
ejufdem fic tranfcribitur 1000214988-
-E feptimo feptuplum ejufdem fic legitur
& tranfcribitur 1166917486. Exodavo
:fic tranferibendum eft oftuplnm oblati nu-
mmieri 3
Capvt sscvn»?m, S £
meri, 1333619984, Denique propofici
numeri noncuplum e nono intervallo fic
tranferibitur 1500 3 2248 i.Qtif ,& fimilia
omnia brevi exercitio difees tam antror»
fum quam retrorfum legere, & tranferibe-
re: nec vlla nifi in multiplorum legione Sc
tranferiptione occurrit in hac Virgulari
Arithmetica difficultas.
Admonitio pro Additions
ET SveSTRACTIONE.
Q Vum difficiliortem duntaxat Arith¬
metica operationum gratia inventa
Junt ha Virgula{cu]u[modi funt Trlultiplica-
tionesfDivifione^Exttaciiones quadrata, &
cubica:) dditio a es au &Subftra aio-
nes cuivis tyrmculo funt obvia t eis icitur
omifis ultiplic titione merito fumemus
exordium*
Capvt III.
Do ^Multiplicatione.
■^/JViTiptic antis , Multiplicandi, 5 c
-*■*•** Multipli voces,ex vulgari Arithmeti¬
ca patent. Quotumum autem(quafi quo-
tu!um)hic voco,notam fimplicem, qua? to¬
ties vnitatem continet, quoties multiplum
tabulatum complebiturTuum fimplum.
Ynds
1 6 Liber primvs.
Vnde idem eft cum numero ordinis fui
intervalli, ejufque index.
Pro faciliore numerorum multiplicatio¬
ne expedit, ut {Impium & omnia multipla''
cjufdem tabular, aequali numero notarum,
(aut per fe, aut per pr^pofitionem cyphra?)
conftent. Ita enim omnes eorum finifti-
mae notseatquatae dicentur, & fibi invicem
ex sequo refpondebunt, prout dextima?.
Numerorum itaj> tn^tcem ntultiplicandoru
alterutrum (prafertim maiorem) interVirgu -
las(per primam fecundi huius) conf itue \ alte¬
rum m charta fcribe > dutld infra tllum linea .
Deinde fub qualibet figura charta 3 fer ibat ur
multiplum illud inter Virgulas repertum, quod
figura illa tanquam quotumus denominat', ita
ut dextima omnium multiplorum nota 3 yel fi -
nifhma aquata decujfattm feu oblique altera
alteram eo ordine Coquantur. quo fgura illa de¬
nominantes illa- y & fc dijp&fta multipla Arith¬
metice addantur £*? proveniet multiplicationis
pvodutlum ♦
Vrfic annus Domini 1615. per 365. multipli¬
candas. Numerus ille in tabulam redigatur, hic in
charta ftatuatur ut a margine. Tabulati numeri
triplum,.fextuplum.
4 §45
9690
807S
36*
8075
9690
4 H 5
189475 ^9475
&quintuplum ordi¬
ne Tumenda c fle fi¬
gurat numeri in
charra feripti 3,65,
tanquam quotumi
indicant. Triplum
itaque numeri 1615
quod b Virgulis
^(cribitut eft 4843 tfextuplum quod eft 9690,
Quimupluitjj ^075 , decuflatim ftribanturfub
ftiis
Capvt tertivm. 17
fuis quotumis 3,6,5,fivefubeisr»rpeL c fiveincipie-
dojUtin primo Schemate, five delinendo, ttrin fe¬
cundo» Non enim refert» modo finifHmat figu¬
ra aequat# eodem ordine decuffatim progredian¬
tur,quo dnfti indices feu quotumi. His multiplis
ita ordine difpofitis, addentur eadem Arithmetice,
& proveniet 5 8 9475 numerus optatus, & ex
multiplicatione prodiimus.
Jdem proveniet ex 16)5 in charta fcriptis, Sc
365 inter Virgulas con-
t6 1 5
0365
2 190
182$
5 s 9475
ftitutis, & numeri 365
fimplo 365 , fe^tuplo
2 190, fimplo 365 , &
quintuplo 1825 (prout
1615 figura: mon-
ftrant) aequatis per cy-
phr# adjcftionem fini-
firorfum , & decuflatim
additis, ut hic vides;
fiet enim produ&um 589475 , idem quod
fupra.
Alia Mvltiplication£s
* V R M A.
A Liter, ^ p-o examine p recedentis multi -
plicationis^ incerte fimul totam Virgula-
rum tabellam , & tnSrentcs in capite tabula nu¬
merum oppofitum primo 8384, cuius triplum ,
[extuplum^ 0 quincuplum , fcilicet 25152. &
50304^ 41920 fert”
buntur oblique feu
decujTattm , ntinor
multipli cadorum 3 65
dire fle fertbitur ,
fc fetipta addutur ut
a margine f fient que
30^0525, qt* *e
25152
5 ° 3°4
41920
3 6 5
3060525
3650000
51,9475
iS Liber p r i m y s.
qua aufer ab 3650000, fctlicet ab eodem ille
multiplicando auflo tot cjphns quot funt Vir¬
gula in tabula,aut figura m altero multiplica»•
do, (fi 1 relinquetur $894.7$ f idem numerus qui
fiupra. Vt autem duplex hac multiplicationis
forma firmius memoria inhereat, hos Ver fu s
adtungere libuit.
Majorem tabuhs‘ 9 & oblique hinc multipla fcribas
Slp* minor ipft monet j que fi tum hac addita pr a fiant.
%Aut tabulam invertas j (r oblique hinc multipla fcribas
rnmoy ipfe monet, direSft his adde minorem :
Hancqus minori aufer /intimam tot inan ibus auSo t
Jn tabula quot fiunt Vireat & prodibit idipfum.
C A p y T IV.
Do Vivifm<L->*
P Rims numerum dilidendum [eu fecandum
tn charta Jcnbe^ drtufore aute pete jeecore m
e api te tabula 5 (per primam fecundi htttut ) col¬
loca X ex cui m multiplis , elige quam magnum
tollerepofis afiniflerioreparte di%idendt{epuod
fcilicet et aut aquale fit % aut proxime minus J
koc (quotuplumcunque fit) exilia fini fler tore
parte dilidendi 9 fub quafiatuendum efl , fub-
firahei notatis reliquiis fupr a figura quotu-
ph^ feu quotumo Sderfiu quotientis fiemtcircu -
tum„ Secundo e virgularum tabella aliud eli¬
ge multiplum pquodfit quam proxime mintu aut
aquale anterioribus figuris reliquiarum ? CiT' Mfi
lud inferius fcnptum ab his fuperiu* fcriptis
aufer
Capvt q_vaitvm. Tf
duferftotafis etiam huius reliquiis fupra prio¬
res ,j & huius quotumopoflpriorem quotumum .
Et hoc fecundum of>us iterum atque iterum re¬
pete procedendo decujjktim Verfitss dextram,da -
nec dextima figura ultimi multipli ad dexti¬
mam dilidendi pervenerit \ tum enim quotumi
Verfius femicirculum , fiunt quotiens qu&fittss\
numerus Vero relidus (fi quis fit ) efl firadionis
fuperfitis numerator , fifi divi for eiufdem deno¬
minator efl. omnia exemplis tUuflrabi¬
mus.
Sit numerus 58947? dividendus per 365*
Ilie primo in charta ( ut a margine ) hic m
capite tabui? ftatuatur: inter cujus multi¬
pla omnia, ipfum fimplum 365 eft quarn
proxime minus anterioribus dividendi fi¬
guris 589 + Ab his ergo figuris 58? fupra (cri¬
ptis fubftrahantur 3 <55 infra fcripti,&fuper-
Cunt ^ fuperiusnotand?,&in quoticnte
ponendus eft quo¬
tumus , fen inde*
/impii, qui eft uni,
tas. Secundo in Te¬
xto intervallo eiuf¬
dem tabui? inve¬
nies diviforis fex-
tuplum z 190, quod
quam proxime mi¬
nus eft numero fu-
perfcripto 2,244 : his ergo fubfcribatur 5 &
ab his auferatur illud fextuplum, 2190, &
fuperfunt 54 fupra notand?, & fextupli
quotumus, 6 , adiicienaus eft quotienti*
Tertio ( repetendo fecundum opus) que¬
rendum
182
224
589475 (1615
365
2190
36?
»825
2o Liber p r i m v s.
rendum eft multiplum quam proxime mi¬
nus numero 547, eflqueiliud rurfus fini'»
plumipfum, 3^5'„quo ex 547 ablato fuper
fiunt 182 fupra fcribend^, & index (Impii,
qui eft unitas , qtiotienti apponendus eft.
Denique quarto queratur multiplum pro¬
ximum numero 1825, & huic aquale repe-
rietur in quinto intervallo , lcilicee i8zf,
qvio numero illi fubfcripto , & ex illo fubi
du<fto nihil reflat: ponatur ergo q fupra, &
figura s quotienti adiiciatur. Sunt itaque .
6165 quotumus optatas.
lAlinci Exemplum,
CIt numerus 861094 dividendus per 43.2.
Ilie in charta^ut a margitte,hic inter vir¬
gulas fhtuatur, & huius'multiplum proxi¬
me minus numero 86r tft ipfe numerus
fimplex 432, quo ab illo fubdu&o reflat
Bc quotumus
tlS
141
402
42 9 a
861094 ( I99 % 11.1
432 43 2
3888
3888
1296
eft, 1, in quotiente
locandus. Deinde
proximum multi¬
plum minus quam
4290 inter virgulas
repertum eft non-
cuplum 3888 , quo
ex numero fuperfti-
te429o fubdu£lo,reftant4oa,"umus,
9,in quotiente locetur. Tertio proximum
multiplum infra 4029 eft idem noncuplum
3888, quo ex 4029 fubdudlo, reftant fupe-
rius i4i,& quotumus,9.3 quotienti eft adii-
cien-
Capvt qjvartvm. II
ciendus. Vlcimo infra numerum fuperfti-
tem, 1414, proximum multiplum diviforis'
in tabula repertum eft eiufdem triplum,
fcilicet, 1196: quo ex 1414 fubdu&oreftanc
118 , & index tripli,fcilicet quotumus, 3,
apponendus eft quotietiti. Vnde totus
quotiens eft 1993 , &fuperfunt, 11S , fu-
perftitis fradtionis numerator, cuius de¬
nominator eft ipfe divifor, 431, hoc fitu,
i»8
1993 — .
43 2
Admonitio pro 'Decmali
Arithmetica.
V Erum fi difpliceant fra&iones, qui¬
bus accidunt diverfi denominatores.,
propter difficultatem operandi per eas , &
magis arrideant ali^quarum denominato¬
res funt femperpartes decima?, centefim^,
milleftm^&c.quas do&iffimus ille Mathe¬
maticus simon Stevinu* in fua Decimali
Arithmetica fic notat, & nominat
Q) primas , 0 fecundas, Q tertias:
quia in his fraflionibus eadem eft facilitas
Gperandi qu$ eft integrorum numerorum,
poteris poft finitam vulgarem divifionem,
& periodis aut commatibus terminatam,
(ut hic in margine)adiicere dividendo, aut
reliquiis unam cyphram pro decimis, duas
pro cenrefimis, & tres pro millefimis, auc
plures deinceps ad libitum: & cum his
procedere operando ut fupra, veluti in fu-
periore exemplo hic repetito (cui tres cy-
phras
22
Liber primvs.
phras adjeci¬
mus) fiet quo¬
tiens 1993>173:
qui fignificac
1993 integra: &
273 millefimas
partes,feu,
feu (ex Ste^ino)
64
136
3.6
t 1 ii, 000
141
402
429
$61094,00® (i 993>*73
452
3888
3888
x 29 6
/ U '//
*> •
1 993 > 2.73
reliquia» autem
noviffimaf/4,ia
hac decimali A-
richmetiea tper
864
3024
1296
nuatur , quia exigui funt valoris,& fimili-
ter in fimilibus exemplis» Ad firmiorem
autem memoriam diviiionis, ciim vulgaris
tum decimalis,hos verfus accipe.
'TRO VTR^lgyE.
SeSforem fabules , multiplum hin e tolle (kprrno
Quam m ijpium potent ; quotumo in quotiente notat »
'Relliquiifque fkpra. Notulas fic perge per omnes ,
T erque cyphras quotquot libuit itmxijji (eca»do,
Vt numerum 1 £r nomen decima!» dent quotnutts.
TUO VV LG ARI.
Multipla quanta potes fifforis t quotque ficando
Tolle decujfatim: quotumique Aabunt quotitntitn .
TRO T> £ £ l M kA LT.^
Multipla quan'a potes fi florit, quotqut ficando
T oHe decuffiitim cyphrts iam quothbet aullo.
Morum tum quotumi decimalem dant quotientem .
ANNOTATIO.
Hinc pacet operanti, feu Logifla:,nihil laboris
tclinqui prxeer aiultiplaruia decuflatim politorum
additi®* 1
CAPVT (^VINTVM. 23
additione pro multiplicatione, & fubftra&ioncm
pro diviSxone Multipla enim ipfa (quorum com-
putatio -graviffima pars operis e(l)ha;c virgularum
tabdla fua fponte expeditifilme exhibet.
C IIP VT V.
De Radicum extractione per Laminam ,
Q Vamvis extra&io radicam(cuius pr^ci-
^>ua difficultas di in multiplicationib 9
&divifionibus inter operandum occurren¬
tibus) expedite fetis per virgulas folas ab-
folvi poffic: tamen ne diviforis multiplum,
atq; recentis figurf quadratum-, aut cubus,
( quf fimul & coniundim a reliquiis fune
liibfirahenda)feoriim difiinguantur,<&r du¬
plici fubftra£tione cogamur pro fimplice
utijatq; etiam quo promptius &expeditius
numeri praecipue necefferii (fcilicet fimpli.
ces quotumi feu radices, & earunde dupla,
quadrata,atq? cubi) in eode intervallo cum
diviforu multiplis reperiantur, lamina his
numeris infculpta adiugi curavimus, cuius
accipe hic paucis fabricam,& pofiea ufum.
L^t Ml X <s£.
Clt ex Materia virgulam lamina quadran-
^ gulajongicudine &craflitie virgularum,
lad.tudine autem fubdupla longitudini,
utramq; faciem (altera pro quadrata,altera
pro cubica extra£bone)polita &■ levigatana
habens. Vtraq; factes in tres columnas di-
vidatur 5 quaru finiftima (pro quadrata, no¬
vem areolis quadratis & decufiatim feu
diagonaliter biferis dividatur, da£bs
lineis
«24 Liber p r i m v s.
lineis confpicuis quf virgularum lineis ap-
pofite & congrue refpondeant.
Ha.um prima &rfuprema areola figuris
Oj i: fecunda figuris o, 4; tertia o, 9: quarta
1,6: quinta z, $ : fextaj,*?: feptin^,?:
o&ava 6 ,4 : nona denique 8 a 1 : numeris
fcilicetquadratis^infcribitur. Infecunda
columna eiufdem faciei,& in areola prima
infcribitur z 3 in fecunda 4, in tertia 6, in
quarta8,in quinta io,in fexta iZjin fepdma
i4 5 ino£lavai6jinnona 18,numeri fcilicet
pares. In terna, feu dextima huius faciei
columna defcendunt ordine novem figura?
i»3- 4« 7 * 8. 9. Et ita abfoluta eft
hgc facies pro quadrata extra&ione.
pro cjuaarcvtra.
x
1
4
X
6
3
8
4
10
S
ia
6
14
7
16
8
K
18
9
pro cubica .
0/
/ 0 1
l
1
4
%
3
^4
1^
4
S
3^
6
49
7
jA.x
8
M
81
Alc ira
Capvt SEXTVM, tf
Altera facies (pro cubica) tres etiam ha¬
bet columnas mftar prioris , pr|terquam
quod prima feu finiltima columna eft trium
figurarum capax, ejufque prima feu fupre-
ma areola infcribitur fic, o, o i ; fecunda o,
o 8: tertia o, quarta o, quinta i, s*:
fexta s,i^:feptima 3 : 43;o&ava f,ix*nona
7,29: numeris fcilicet cubicis ordine def-
cendentibus. Secunda huius faciei co¬
lumna continet numeros quadratos hos
i,4,9,16, i?, 365 49*64, 8.1, ordine defcen-
dentes. Tertia calumna huius faciei,inftar
tertif prioris, habet novem figuras has 1,
z 5 3»4aJs <^7, 8,9, ordine defcendentes.
Et ita abfolvitur lamin^ huius fabrica, fu-
prafcriptis titulis, prioris faciei,/-™ quadra*
ta\ huius faciei pro cubica\ prout in utroque
facierum fcheinaee hicdefcripto habes»
Sequiturlamin^qum virgulis ufus.
Capvt VI.
De extradione radicis
quadrata?,
N Vmeri oh Ut i (e quo radix quadrata
fu extrahenda) fingulas duas figuras
pmUis claudes Jncipiendo (emper a dextima
latere dextima figjup, & fuh his duces duas
lineas intervallo radicis capace* Deinde a
figurafi u figuris fimHimt pm£H incipiendo,
B 0- dex*
%6 L r & s x. primvs,
O* dextrorfum progredtendo a harum extrahe
radicem quadratam veram vel filtcm qmm
proxime minor em ver a, & hac radice inter
lineas & fub pmBo fuo collocata , eius qua¬
dratum aufer d (uperioribus figuris tltius
primi puniti , notatis reliquiis diretle fupnt
illas, Secundo huius radicis duplum in ca¬
pite virgularum fiatue , & his dextrorfum
applica laminam cxtratiionis quadyataMmc
e virgulis &lamina elice multiplum aquale ,
aut proxime minus figuris fiuperioribus fecudi
puncli , fcilicet quam magnum hinc tollere
poteris, quod ab his fubftrahe , notatis reli¬
quiis direUe fupra has* Huius vero quotu¬
mum (quem in eadem Ime a , & dextima co¬
lumna lamina invenies) fub fecundo punclo
inter lineas,pro fecunda radicis figura , (la-
tue . Ei hec fecunda operatio toties iteranda
efl quot fuperfuennt puncki, hac lege tamen,
ut deinceps inventi quotumi duplum inter
prius dapium laminam inferatur*
C a y t i o I.
S Ed hic obfervandum.fi duplum illud con¬
fiet duabus notis 3 tum virgula notf qup
ad dextram eftjnfert aflue ad Uvam eft,ad¬
datur priori vir guti % qua remota, inferatur
eius loco virgula fumrne.
C A V-
€ A P v T SEXTVK.
C Avno II.
2f
1 P Vrfas hic obfervandum cB , quod fi nui »
Um ex multiplis } imo nc (impium qui-
dem aufirendum ex figuris prpfens pun&um
prpeunttbus^abeis au fini pjfit' povendu eB
o cyphrafub punclo illo pro quotumo 5 intd* *
ttis reliquiis,
E X E M P L v M.
CIc numeri 117716*37694 extrahenda ra-
^ dix quadrata. Pundtis diftinguatur, &
fub eo ducantur Iine^ 3 vt a marginej inde 3
figuris finiftimi pun&i, videlicet n ■ elice
radicem quadratam
f 4 $95
90
67
quam proxime mi¬
norem fcilicet, 3»
quam fub primo feti
finiftiroo pundro fta-
. tue, & eius quadra-
to,quodeft 51, ab 11
iublato , reflant 2 %
qnf fupra fcribantnr*
Secundo huius radi¬
cis duplo, quod eft
6, in capite alicuius
yirgul^ invento,
huic virgulf appli-
r 1.7 7.1 6, a 3.7 6,9 4.
3 4 3 o 9 g
9
256
2 049
617481
* 4 89*04
cetur lamina quadratf extractionis, &
queratur in eis multiplum proxime minus
reliquiis fecundi punifli, 277 j & invenies
quod eft quadruplum, & iuxta hoc in
B 2 eadem
s8 Liber. Primvs.
eadem linea in tertia columna lamina flat
ejus quotumus,4. Numerum itaque zj6 ex
277aufer,redant 2i,quem numerum (dele¬
tis prioribvis)fuperms nota 3 & pro quadru¬
plo ftatue quotumum,4,fub fecundo pun-
<do. Tertio pro hujus quaternarii duplo,
8,quod in eadem linea media» columno in-
venieSj virgula 8 interpone inter laminam
virgulam priorem 6: tunc e virgulis fida¬
mina repofita elice multiplum proxime
minus reliquiis tertii pundi 2116, quod eft
ao4 9. His ergo 2049 ab illis z 11:6 fubdudis
reftantfuperius 67, 3 c quotumus tripli,fci-
1 /cet 3/ub tertio punito feribitur, Quarto
duplum tertii quotumi eft 6,cujus virgulam
inrerpo -e inter virgulas procedentes & la¬
minam: & lac repofita lamina quaere multi¬
plum proxime minus reliquiis quarti pun .
di 6723 , & nullum invenies quod c 6723
fubftrahi poffic(per cautionem promifiam)
intadis reliquiis fub quarto pundo ftatue
o, pro quarta figura, & ad quintam perge.
Quinto itaque pro duplo quarto figuro o*
(quod etiam efi: o)interpone virgulam o in¬
ter ultimam virgulam 6 fic laminam & tuus
reliquiis quinti pundi, videlicet 672-376,
proxime minus multiplum eft noacuplum,
videlicet numerus 617481, que ex reliquiis
<?7z376aufer,reftSt fuperius reliquia» 5489^»
& pro noncuplo adjungitur 9 radicis quin*
tafigura. Sexto denique pro duplo praece¬
dentis 9,quod eil 18,inferatur virgula 8 de*
xtimae not§ &: unitate addita virgulae o pro¬
cedenti, fiet 1 pro o. Remove ergo virgu-
C A p V T SEpTl MVM # 1$>
lam o 3 & ejus loco pone virgulam i, & re¬
pone laminam. Et tunc reliquiis Texti pun¬
cti $489594 quatre proxime minus multi¬
plum, quod ell oCtuplum hoc quo
ab illis reliquiis j r 48 p^ 94 ) fubdudlo 3 reftant
90. Tota igitur radix quzefiraeft 343098
fuperfuntpo pro ultimis reliquiis, Eadem
dl ratio in aliis exemplis.
Vc praecipua extractionis quadrata pr«-
cepta firmius animo inhjereant fequentes
verfus adjunxi.
PRO PRIMO OPERE E X-
TR ACTIO V^S ^V^T)\AT^ t
Qusfque du&i piinclis 2 dextra claude figuras,
Quadratum dr latrina. qu3.m magnum tollere
€x nolulti pmUum Ixvumpraeuntibns mf? '
ReUiquia/qutJtiprA } quotumum dt/lmW fitb xp{*.
Pro opere fecundo & reliquis.
Jnventl quotumi duplum prafigtto lamm,
Multiplum & hinc /urgent quim magnum tollere pofit
€x notulu prafens pmttum prxemtibus aufer:
ReUiquiifque faf ra > quotumum deferibefub iflo.
^ C A p V T VII.
De radicis cubica? extradione.
N 'Umeri oblati (ex quo radix cubica efl
extraheda^finguUs tres figuras puti is
claudes jncifiendod dextimo latere dextima
B ^ figurat
30 Liber primvs.
figura.) & (ubtm dua ducantur linea inter -
yalio radicis capace. Deinde a figura feu
figuris finifiimi punlli incipiendo progre¬
diendo dextrorjum , harum (officio lamina
extr aBionis cubica) extrahe radicem cubi¬
cam veram vel Jdltem quam proxime mino¬
rem rera: & hac radice (qua figura unica
eB) inter Ime as & fub punito fuo collocata ,
# jus cubum aufer a fuperio) ibas figuris puti¬
llum primum feu fwiBimum praeuntibus,
& reliquia fupra notentur ♦ Secundo hujus
radicis triplum in capite virgularum inven¬
tum referva ,at que e]ufdem radicis quadra¬
tum triplabis , & hoc triplum in capite vir¬
endarum ftatues MquefimBrorfim apphea-
lamina culi , ^extrorftim yerb virgulas
refervataSj Jiat ut a lamina in medio*, atque e
virgulis fimiBris & lamina elice multiplum
proxime minus figuris praecedentibus fecun¬
dum punlhtm, quod feorfim in chaytn ficrtbe,
& fupra ejus dextimam figuram (interpofitd
lineola)nota ejus quotumum, atque quotumi
quadratum Dvorfum ii quotumo feribe , eo
ordme quo in eadem lamina linea roperiun¬
tur , & fub fwgulis quadrati huius figuris
fer ibant ur fu a multipla dextmfum reperta ,
qualia ipfie figura monfirant: ita vt quodque
multiplam chreBe fub fua figura feu quotu¬
mo defnat>: ficque decufjmm addantur
multipla
C A P V T Septjmvm* ^ 3 k
multipla hac quorum fummam aufir k figu¬
ris fecundum ptw&im praeuntibm, &fu-
praeas fcrihe reliquias fuperftitcs: quotu¬
mum autem dextimum fupra notatum, fuh
fuo hoc fecudo ptmBo atq, inter lineas fcribe
pro fecunda radicis figura feu quotumo . Et
fic perfibkt csl fecundi piwcli operatio, quam
per fingula puncta, vfque ad ultimum % repe -
teSyVihdo mutato.
C A V T I o I*
V 'Erum inu omnibus operationibus &
punciis obfervandum eily quod fi nul¬
lum nmhiplmha^tuf wininouw sjuidem in <tny -
vqdisfmiftris & lamina repertum } e reliquiis
pracuntibus abflrahi pcjjit: ponenda cfl o ly»
phra fub punbiet illo pro quotumo , reliquiis
i at aciis & manentibus ut prius*
Cavtio II#
E T fi f nmma prafatn auferenda i auferri
nequit k figuris pracuntibus punthsm
fiium: addenda funt minora multipla , qua,
quotumi in lamina proxime fuperiores mon-
firant in yirgulis , quorum fiumma auferri
queat,,
B 4
Exem-
3» Liber pRiMVs*
Exemplum Cubica extrattionts %
CIt numerus 2102,163 5627,a quo fit extra-
^ henda radix cubica* Pundis notetur,&
lineae fubtus ducantur,ut infcriusjdeinde ex
figuris primum feu finifiimum pundu prae-
euncibus,fcilicet ex n 5 extrahe radicem cu¬
bicam proxime minorem vera(veram enim
non habetjh^c in lamina deprehenditur ef-
fe 2, quam pro primo quotumo fub primo
pundo inter lineas colloca: atque ejus cu¬
bum (qui in lamina efi 8)aufer ab illis figuris
primi pundi fcilicct a 22 , & fuperfunt 14
fiuperius fcnbenda, Ita perfeda efi primi
pundi operatio. Secundo inventi quotu¬
mi (fcilicec 2} triplum, quod efi 6, inter vir¬
gulas repertum pofipo-
ne lamin^ verfus dex-
1 4 tram,&triplum quadra-
2 2*0 2 2*63 7 * ti ejufdem quotumi 2 ,
2803 fi u °d efi 12 inter virgu-
2 las inventum propone
2 3 p j- 2, laminae verfus finifiram:
^ 7063 s6z7 inie h virgulis finifiris
& lamina elice multi¬
plum quam proxime miv
nus figuris praeeuntibus fecundu pundum
34022; efique hoc noncuplum 11/29,quod
feorjim fcribe, ut a margine, & fupraejus
dextimam figuram, 9, (intetpofita prius li¬
nea) fcribe ejus quotumum 9; atque hinc
lazvorfum nota ejufdem novenarii quadra¬
tum 81,eodem prorfus ordine,¬is qui*
bus in ipfa lamina fcribuntur ; deinde fcribe
fub 1, multiplum fuura quoddexcrorfum
mon-
C A P V T SEPTIMVM, Jf
monftrat,quod eft fimplum fub 8 feri-
be multiplum quod dextrorfum
819 monftrat quod eftoduplum 48:
—4—• & hsec tria multipla fi c decuila-
11 $19 tim infra lineam lcripta & addi-
6 ca (ut a margine) producunt
48 16389, qu$ quiaafuperioribus
« ■ —‘ figuris 14021 fecundi pundi au-
1^389 ferri nequiunt, repudiandus effc
novenarius &Ioco 8ip(percau-
tionem fecundam ) capienda? funt notube
proxime fuperiores in lamina, qua? fune
648: atque multipla qua?ha?demonftranr,
fcilicet oduplum , inter finiftras virgulas
quod eft 10112 5 & quadruplum inter dex¬
tras quod eft 24,& fextuplum inter dextras
quodeft 35, decuftatim addita
£48 (ut a margirie)producunt 139?2:
—— 4 —quibus ex 14022 fubdudis, re-
101 12 manet fuperiiis (in primo Iche-
2 4 mate ) 70 pro reliquiis fecundi
3 6 pundi, & pro quotumo fecundi
' “ ** pundi accipiatur dextima figu-
1 3 ^ 1 rarum eledarum 648, quae efl 8,
& fub fecundo pundo inter li¬
neas (fatuatur. Tertio quotumorum pr§-
cedentium(fcilicet 28)tripIum,quod eft 84,=
poneper virgulas a dextris: 8c eorundem
aS triplum quadrati qu^re.five vulgari mo¬
do, five per compendium fequens, eftque
23 fz :quod officio virgularum a finidris po¬
ne, & interpone laminam. Et ex multiplis
&r fimplo inter finiftras virgulas & lami¬
nam procreatis (quoru minimtleft 2? 5201)
B f nullum
34 Liber p r i m y j.
nullum occurrit,quod ex figuris tertii pun-
£ti,fcilicet ex 7063; jfubducipoflit. Eftigi¬
tur (perprimam cautionem) manentibus
reliquiisjub tertio punito ponenda cyphra
©,pro tertio radicis quotumo. Et ita com¬
pleta eft tertii puniti operatio» Quarto
quotumorum procedentium ( fcilicet 3.80)
triplum, quod eft 840, pone a dextris, &
eorundem 280 triplum quadrati , quod eft
2,3 $200, pone finiftrorfum 3 &• interpone la¬
minam,& ex multiplis finiftimis elice illud
quod figuris quarti puniti 706156x7 quam
proxime minus eft, quod eft triplum hoc
705600x7* Scripto itaque hoc multiplo in¬
fra lineam, & quotumo 3 fupra ejus dexti¬
mam figuram, & quadrato quotumi, quod
eft 9 •, finiftrorfum fupra lineam , & fub 9
fcripto noncuplo dextrorfum reperto,
quod ell756 o : addantur hxc
93 d,uo multipla, ut a margine , &
— 1 —- 1 — fiet fumma7063*617, quam ex
705600x7 figuris quartum punitum pra?-
7560 euntibus aufer, & null^ fuper-
—. . erunt reliqui^. Figurarum itaq;
70^56x7 5>3,dextima,fcilicet 3,fub quar¬
to & ultimo punito ponatur,
pro quarto & ultimo quotumo radicis.
Tota itaque & perfeita radix cubica nu¬
meri oblati 1202163 56x7 efta8c>3. Par rado
eft in aliis.
Vt autem circularis hic ordo & metho¬
dus cubica extractionis firmius acimo reti¬
neatur. hisfruere verfibus.
PRO
GaPVT IIPT1MVM,
11
PRO PRIMO OPERE EX¬
TRACTIONIS CV&ICiE.
A dextra punitis claudas tres quafque figuras-^
Et cubit htnc lamna quam magnu tollere pofsis
Ex notulis punitum la^um praeunttbus aufer 3
Relliquiafque fpra } quotumu defcrtbe fub tpfo .
PRO OPERE SHCVNDO,
ET RELIQVIS.
Ante triplum intenta radicis rfoflque quadrati
Etufdem triplum 3 cubi interponito lamnam:
Multipli* &ad lafcit quam magwti tollere popis
Ex notulis puniti prafentisyfcrtbe feorpm
Sub reltd^quotumuqpupra^quotumiq,quadratu
Laborfu a quotumo pu qua tibi multipla dextra
Monflrant quadratinotula, confcnbe fub tpps\
Infra fcripta addas', & fummam tolle figuris
Qua punBum prafens praeuntlfupraq. notatis
Relliquiis, punito quotumum defcrtbe fub ifto.
Capvt VII!♦
De compendio pro extra-
dionc cubica.
m
$ Liber phimvs,
Pro exemplo, in praecedente tertia ope¬
ratione dabatur radix cubica (quamvis im-
-perfedla)i8.Dabatur etiam prius in fecunda
operatione tripla quadrati anterioris par¬
tis ejufdem, quod eft 1 1, quod & ipfae ex-
tantes a laeva virgula* pr$ fe ferunt, Quae-
ritur autem triplum quadrati totius nume¬
ri 28,ad quod inveniendum primo quaera¬
tur triplum quadrati dextimi quotumi,
quod in hoc exemplo eft 192» Quaeratur
item facium ex dudlu dextimi quotumi in
omnes ftniftros, audlum cyphra, quod hic
eft idh. Tertio hujus audii ca-
192 piatur dimidium 80, audtum cy-
i6o phra,quodeft8oo. Quarto de-
800 nique capiatur triplum quadrati
1200 anterioris partis, quod eft nu-
.- . merus ipfequem virgul§finiitrg
23^2 ex procedente operatione ex-
tantem referunt,qui in hoc ex¬
emplo eft 12: & hanc auge duabus cy-
phns , fitque pro quarto numero 1200,
Hos quatuor numeros adde, ut a margine,
& producentur 235:2 pro triplo quadrati
28 quaffito, Habes igitur facili compen¬
dio hoc triplum , quod officio virgularum
praeponere poffis laminae, ad quartum rsu
dicis quotumum inveniendum, ut fupe*
rius ♦ Et fufficit haec praxis pro Generali
Regula,
c Admonitio .
a v
Voad hujus praxis vocabula, fimplum,
multiplum, & quotumu>ubiq; debito
fenfu
Capvt octavvm. ^7
fenfa capimus j fcilicer, fimpluni, pro eo
quod duftum in quotumum producit mul¬
tiplum. Multiplum, pro eo , quod divi-
fum per fimplum, producit quotumum;
Quotumum vocamus , qui dudtus in fim¬
plum producit multiplum , aut qui oritur
ex divifione multipli per fuum fimpluni.
Multipla etiam & quotumi ( quorum fre-
quentsor eft ufus in hac epitome) locafua
conftanter in omni operatione retinent:
ut duplum fecundum areae intervallum»
triplum tettium, quadruplum quartum, &
fic deinceps ad noncuplum quod in nono
intervallo reperies.
Eorundem autem quotumi 2, 3, 4,
&rc. ufquead 9 tam fub numeris or¬
dinis intervallorum tacite, quam fuis.lo-
cis in dextima laminae coiumna exprefte
continentur. In fitu autem fimpli difcri-
men folum eft, ejus enim figurae dextima,
unius vel duarum, locus fempervariatur
pro diverfirate operis, Nonnunquam enim
omnes tam dextimae quam finiftimae figurae
fimpli reperiuntur in capitibus fuarum vir¬
gularum,ut in multiplicatione &divifione,
Nonnunquam unica tantum dextima figu¬
ra in eodem intervallo tertiae column£,quo
fuum multiplum reperitur; & caeterae in
capitibus virgularum, ut in extraftione ra¬
dicis quadracae per fuam laminam, Non-
nunquam denique ejus duae dextimae
figurae reperiuntur in mediae columnae
intervallo eodem quo fuum multi¬
plum , & caeterae figurae fimpli in
capitibus.
g,$ Liber psim?s,
puibus virgularum ut ia extraCtione cubi¬
ca per fuani laminam. Hsec ergo tandem
admonuiile libuit, quia ex his bene intelle¬
gis non modo rationes omnium operatio¬
num hujus opufculijfed & extra&ionis fu-
perfolid§, & radicum altiorum pendent*
De extractionibus ha&enus fatis fuperque
diCtura eft; fupereft de regula proportionis
(quam trium vocant) dilferere* Cujus ufus
tam in Geometricis & Mechanicis, qua in
Arithmeticis vere aureus ell, ucfequente
traftatu docebimus.
C A P VT IX.
De RegulaTrium, dire&a
& inverfa.
I N Regni a Trium d.hdki, fecundus &
tertius numerus debent invicem multi¬
plicari , & prodttftum dividi per primum,
fd cjfcio Virgularum fit, addendo decujjktim
illa multipla tertii^qua figura fecundi nume¬
ri ordine indicant , vel contra & a produ&o
fub[trahendo decufjatim multipla fingula
primi quam proxime minora ficu aqualia
minuendo: & horum multiplorum quotumi
er diu e fcriptt faut numerus quartus quxfi-
E XE M*
C A P V T N 0 N v M.
ExfiMPLVM.
V Bi n menfesfuntdies 36?,quxriturzy
menfes quot dies habent pro rato i Ia
virgularum tabella numeri tertii 27 tri¬
plum, fextupium,
quintuplum ( qux
figurae 3, fe¬
cundi numeri indi¬
cant )funt 81, 1 6z,
135:; vel aliter nu¬
meri fecundi 36?
duplum & feptu-
plum ( qu$ mon-
ftrant 2 &7 in 27)
funt 730 & 2 SSS >
quae decufTatim ad¬
dita funt9855: qui¬
bus divifis per 12,
hujus odtuplum 96,
duplum 24, & (im¬
pium 12 ab illo numero 98*? decufiatim
iubllrahendo,provenit pro quarto quadito
quotiens 821 ex didis quotumis conflatus,
&tres duodecima? feu una quarta diei fu-
pereft; feu, per decimalem Arithme¬
ticam, provenic quartus quarfitus
3 feu 821, qna? eadem
funt,
Inversa.
In RegttU 7'rium inverfi, primus & fe¬
tandus
^27
* x vel fic 730
16% veillC 2557
Jil 9857
3
1
2
98?? («21J
12
$6
Libh Pmm v s.
eundus debent multiplicari invicem , ^ pro -
duttum dividi per tertium jnore virguUmm
faprd dicio t nimirttm per additionem & fub*
ffrabiionem.
E X E M P L V M.
Vt i7 operarii aedificaverunt turrim $6^
diebus^quatritur 11 operarii quot diebus fi¬
ni ile m aedificabuntPRefponfum idem exhi¬
bebunt virgula? quod antemdem enim funt
numeri, & eadem operatio, inverfis folum
terminis. Turrim ergo hanc diebus 8aib
«dificabunt* Ita in aliis. 4
(/impendia Regula Trium,
CVmmam operam dant providi logifta?
^ in tabulis fuis confiruendis, ut quoties
per numeros exiliis defumptos exercenda
fit regula Trium, numerus dividens feu di-
viforfemper fere fit unitas cum cyphris a-
liquot adje&is (quam ideo profinutoto
fratuunt) quod & nos etiam in tabellis no-
liris fequeotibus fieri curavimus. Quoties
enim ita accidit in opere ut divifor fit 10,
ioOytooojSrc.non modo divifionis tatdium,
fed &-aliquam multiplicationispaftem hoc
compendio tollimus. Nam quot habet di¬
vifor cyphras, tot tollenda? funt figura? a
dividendo verfus dextram : Et fic fatta eft
divifip. Atque quia totum hoc dividen¬
dum erat pridem per multiplicationem
conftruendum, multiplicatio hsec a finillra
in dextram eft inftituenda, ut antequam ad
dextimas figuras perventum fit, dimittatur
operatio*, frufira enim conii: uenda? funt fi¬
guras
CApVT MON.VM. 4t
gura? per multiplicationem , qua» mox de¬
lenda funt & defirueuda? perdivifionem*
Exemplum huius compendii •
Cum diameter circuli iooooo det peri-
pheriam 31416 fere, quaeritur diameter
quantam habeatperiphenam ? numeri fe¬
cundi 3i4if> fextuplum^
triplum, & quintuplum
(abfcifiis dextimis &
inutilibus figuris ) fune
18849,, 0941.., 8c
1 $ 7 . • • , quibus ad lar¬
vam sequatis per adje¬
ctionem cyphr^j ut in
C a p .de multiplicationem
diximus Srdecufiatim (ut a margine)loca-
tis, & ( praeter quatuordextimorum loco*
rum figuras ) additis , provenit numerus
1994 feu 199 5 fere. pn> quarto quaefito. Ve¬
rum. fi quando quartum hunc pnmfe ma¬
gis quam facile producere velis, perficieda
cft multiplicatio inte*
<>3f gre , ut in fequenc®
fchemate, & fiet pro-
ductum i 9 ? 4 3 p 1 60
(perdecimalem Arith¬
meticam ) id eft,
1994^ vel
1884
094
1994
1884
094
if
96
248
7080
111 itum
J 994 [9160
I994---- pro quarto
qu^fito: quod per Vulgarem abbreviatio
nem valet
alus.
1994
?-29
Et ita in omnibus
Ad
Liber frim vs. 42
Ad utriulqueRegulxTnum.diVe&a? &
inverfa^ memoriam firmius retinendam,
bos accipe verfus.
Pro Directa Regvla.
Jddde decujfa tfm tertii menftrata fecundo
Multipla^ d feumwa fubducas multipla primi
Spuantaqt*e i quot quepotes'. quotumi dant or -
[dine quartum.
Pro Regvla Inversa.
.adle dccuffa ttm prtmt menferata fecundo
Multipla 5 a femmafehducas multipla tertii
{fetant aque } quot que petes : quotumi dant or-
[ dtne quartum^
Primi libri It abdo logice
de uf|3 Virgularum
in genere
finis.
Fol. 43
RABDOLOGI AE
LIBER SECVNDVS
De ufii Virgularum Numeratri-
tium in Geometricis & Mecha»
ni cis officio T (tiniarum,
C a p v t I.
Dc^j dcfcriptione_j Tabula*
rum fequemim.
Olvmnarvm Linea¬
rum vocabula vulgo in
tabulis recepra retine¬
mus ; &: feriem numero¬
rum diredte afeenden-
tiutn feu defcendentinm,
columnam didmus: numerorum autem di«
redte a dextra in /iniitram, aut coatra pro¬
gredientium lineam vocamus.
Qualibet columna, & quaslibet linea
denominatur a polygono, aut nomine alio
eiinferipto: ut prima columna eft trigoni,
fecunda columna tetragoni, tertia penta¬
goni, & tic de eseteris; item prima linea eft
trigo-
44 Liber secvndvs.
trigoni, fecunda linea tetragoni, tertia
pentagoni, & iicdeinceps. A cornu fni-
llro in calcem dextram cujufque tabula*
defcendunt decuffatim areola, nominibus
polygonorum, regularium corporum, vel
metallorum, & Tuorum millenariorum
numeris referta?.
In his tabulis continentur polygonorum,
& Corporum regularium latera,quadratn-
ces, diannctri,& corporu cubatrices, atque
metallorum pondera & capacitates.
JJuadratrix figura area eius quadra¬
ta radtx , feu latus quadrati aqualis illi fi¬
gura.
Cubatrix corporis 3 cB'filidi cius cubica
radix> ficu Utns cubi illi torporis aqualis.
Quadibet tabula continet duplices quam
titatum fpecies, Vt prima tabula polygo¬
norum latera, &’quadratrices ; fecunda qua-
dracriceSj&diametros;tertia diametros, &
latera. J£t ita de reliquis, vt mox pate¬
bit.
Singuli quaterni numeri cujufque tabu¬
la?,qui in ejufdem quadranguli angulis re-
periuntur, proportionales jfunt* Vt in pri¬
ma tabula i £20,24?o, atque 52? & 84 6
eodem quadrangulo clauduntur, & pro¬
portionales funtj ut enim i{20 ad 2450,
ita 5 2? ad 84 6. Item finguli quaterni nu¬
meri,quorum primus & quartus ab eodem
quovis millenario, & fecundus ac tertius
Capvt SECVNDVM. 4^
ab hoc feu alio quovis millenario aeqtiali-
ter diftant, proportionales fune: ut, 50I
fehabetad 525*, ut if?o4ad 1991.
Vndeex diverfiscombinationibus Unii-
libiis infinita* fere in tabularum areis ori¬
untur proporeionalitates; quarum ( ut
confufio omnis tollatur) ex nobis folum
cura; funt, qua; pro primo termino mille¬
narium habent * ob rationem in compen¬
dio regulf Trium fuperiiis declaratam* Ds
his igitur folum in polieram fiet ferino.
C a p y t I L
De inventione laterum, & qua® j
dratricum polygonorum j
per primam Tabulam,
T A b v l a hac ( ut dua feejuentes ) -
continet primorum polygonorum (qui
maxime iru ufu funt) nomina decujjatim
cmn millenariis fuis defeendentia . vtdelU
at trigoni , tetragoni, pentagoni , bexago «
ni s heptugoni s oltagom^ nm agoni, & de e a»
gom.
Et quia hnms T A B v l m nfus
efl in inveniendis Polygono»
E v m lateribus $ & qiudratrkibus 2
ideo
?v: '■
4 6 Liber secvndys.
ideo quivis numerus tubula vel pro latere
vel pro qmdratrice accipi poteH , Si pro la¬
tere, latm eft polygoni ejufdem linea. Si pro
qUadratrice quadratrix eft polygoni t jufdent
columna*
Exempli gratia, numeras 145^ in linea
pentagoni, & columna heptagoni politus,
potefl vel pro latere , vel pro quadratiice
fumi. Si pro latere,erit latus pentagoni;
fi pro quadracrice, erit quadratrix hepta¬
goni. Item millenarius politus tam in li¬
nea pentagoni,quam in columna pentago¬
ni, potefl vel pro pentagoni latere^ vel pro
ejufdem quadracrice fumi.
Nfumeri ejufdem columna funt Utera
polygonorum ejufdem quadratricis : & hac
quddratnx eft numerus fecundas ejufdem
columna «
Vt, 8^7 eft latus o&agoni, &r 14^ (qui
in eadem columna repetitur) dilatus pen¬
tagoni o 61 agono arqualis , & communem
habentis quadratricem 1904 s , fecundum
fcilicet ejufdem columna? numerum.
Numeri eiufdem linea funt quaclratrices
polygonorum eiufdem lateris: & hoc lutus eft
numerus fecundus eiufdem linea ,
Vc
Captt primvm.
m
Vt 6 %y eft quadratrix pentagoni,& 1301
( qui in eadem linea reperitur) dl quadra-
trix nonagoni, quorum commune ratus ei!
yzy , fecundus fcilicet mimerus ejufdem
line^*
Praecipua analogorum Theoremata,
T h e o r, I,
V T mlle^arius ad latus datum nomi -
nati polygoni \ itu nummis fecundus
columna nominati polygoni , ad quadratri¬
cem eiufdem polygoni .
E X E M P L V Mf
Vt IOOO ad datum latus pentagoni 31 j:
ita 13 iz (numerus fecundus columna?pen¬
tagoni ) ad 413 quadratricem pentagoni
quidltam: utexpROBL. 1* patebit,
Thho. II.
T)t millenarius ad quadratricem datam
alicuius nominati polygoni: ita numerus fe¬
cundus linea illius polygoni ad latus eiufdem
polygoni ,
Ex E M P L V M,
Vt 1000 ad quadratricem pentagoni da^
tam 413 : iraz&'z (humerus fecundus lineat
pentagoni) ad latus pentagohiqti^litum
3i5but patebit per z Probl.
TabelLi
48 tlBER SECVNDVS.
T H £ O R. III.
‘Dmmm "polygonorum aqualium feti
e iufdem quadratncisyUt millenarius ad latus
datum primi ; ita numerus interceptus a co¬
lumna primi & linea ft eundi ad latus fe¬
cundi.
Tabella prima laurum &
| Trigoni
i io©o
1^20
1991
‘ 245-0
6?8
Tetragoni
IOOO
1312
1612
$02
, / • ;
762
r Pentaaont
O
IOOO
123 1
408 ’
•
620 '
812
Hexagoni
IOOO
34 ?
*2*
687
». 846
299
4 ??
4 9 ?
- 753
!
C
402
'r 528
65-0
157
471
> ?8i j
Capvt secvndvm,"
Exempl v m«
Sint aqualia polygona pentagonum cu¬
jus lacus fit 315, & trigonum cujus latus
quaeritur* Erit ut 1000 ad latus datum
313,ita 1991 (numerus interceptus a co¬
lumna pentagoni & linea trigoni) ad cjuae-
/iftun latus trigoni quod di 627, ut infra
problem.3 patebit*
quadratricum polygonorum.
2896
r
3344
3771
4217
I904
•
2196
2487
2769
i
2019
189?
21 19
11S2
1364
H 39 ‘
1 1721
Hept agoni.
' IOOO
n ?4
1301
14
8 5 7
O $ agoni
IOOO
1128
I 2 ()I
. 7 69
887
'Ng/i agoni.
IOOO
IIl8
687
793 .
8 9?
C D ecagoni.
IOOO
c
Liber s e c v n » y S.
jo
Theor. IV*
c Dimum polygonorum ejufdem lateris,
ut millenarius ad quadratricem primi da*
tum : itu numerus interceptus a linea primi
& columna fecundi s ad quadratricem fe¬
cundi»
Eximp lvm.
Sint polygona ejufdem laceris pentago»
num cujus quadratrix fit 41?, & trigonum
cujus quadratrixquaeritur, Eritut ioooad
413 quadratricem da tam,ita $oz (numerus
; interceptus a linea pentagoni & columna
trigoni) ad quadratricem trigoni quafitatn
2.07.ut inferius problemate quarto patebit»
Problemata vsv s pra
C EDENTI V M,
PROBL. I.
Ato Utere polygoni nominati ? dare
ejufdem quadratricem ♦
EX .E MPL VM.
CIt latus pentagoni 315'. Ex theoremate
^ primo erunt ut ioooad 3, ita 1311
(numerus fecundus columnf pentagoni )
ad quadratricem pentagoni quaefitam. Ec
percompendium regulae Trium , triplum,
limplum, Sr quintuplum numeri 1311, vel
(Implumjtripluin, fimplum & duplum nu-
jneri 315- addita deculTitim^ & a produ&o
abfci&s
Capvt SECVNDYM» fi
abfeiffis tribus dextimis.figuris, producene
413' quadratricem pentagoni quarfitamjCU-
ius latus elt 315'.
PsoBi, II.
Data cjuAclratrice polygoni nominati da¬
re eiufdem latus,
Exemplvm,
Sit quadratrix pentagoni data 413. per *■
theorema erit ut 1000 ad 415 numerum
datum; ita 161 (numerus fecundus linea?
pentagoni) ad latus qu^fitum, Abfcinde
ergo tres figuras a produdio.quod fit ex fe-
ptuplojfextuplo, & duplo numeri 413* vel
exquadruplo J fimplo 3 & triplo numeri 7^1
decuffatimaddius,& provenient 315” latus
qu^fitum pentagoni, cuius quadratrix data
erat 4x3.
Probl. III.
'Duorum polygonorum aqualium feu eittf*
dem qmdratnctt) dato Utere primi dare la¬
tus fecundi , utrtufque quadratricem •
Exemplvm»
Sint aequalia feu ejufdem quadratricis
pentagonum cujus latus fit 31?, & trigo¬
num cuius latus quaeritur. Et quum per 3
theorema fit ut 1000 ad 315','ita 1991 ( nu»
merus interceptus a columna pentagoni Bc
linea trigoni) ad qusefitum latus trigoni.
Ideo (per copendium noftru)abfcinde tres
dextimas figuras a produco- quod fit ex
C 2 triplo,
£ z L ll£i s B C V K o V S.
triplo, fimplo,& quintuplo numeri 1991*
vel quod fit exfimplo, noncuplo, & nen-
cupio ac fim pio numeri 315 decuflatim
additis 3 &proveniet latus trigoni 6 27 qu§-
iitum: quadratricem autem dabit proble¬
ma primum, fcilicet 413.
Probi,. IV.
Duorum polygonorum quorum latera fant
aqualia, data quadratriceprimi t dare qua»
dratyicem fecundi i & mriufque latus .
Repete Exemp lvm quarti Theore*
matis, in quo Pentagonum, cujus quadra-
trix eft 413, ; & Trigonum quadi tfquadra-
tricis funt sequalium laterum. Per illud
enim theorema ut 1000 fe habet ad 413
quadratricem pentagoni: ita £02 (nume¬
rus interceptus a linea pentagoni 8 c co¬
lumna trigoni) ad quadratricem trigoni
quaditam. Vnde (per compendium no¬
thum ) abfciflis tribus dextimis figuris a
quadruplo, fimplo / &r triplo numeri £02:
vela quintuplo, cyphra, & duplo numeri
413 decuflatim additis, provenient 207
pro quadratrice trigoni quadi ta. Vtriuifque
autem latus dabit problema fecuadu, fcili*
cet $xy.
GaPvt
C A p V T III.
J)o inventionem quadratricum
diametrorum polygonorum per
Tabulam fecundam»
OAmt h$c Tabula (prfter comnm-
nia) polygonorum quadratrices , %z
diametros J quas quia & circuli habent,
circulum igitur inter hujus tabellg poly¬
gona numeramus tanquam polygonum in¬
finitorum laterum. Per polygona igitur
f n * VI wiiw uluui, Cc pc* diametros
polygonorum 5 intellige circuli diametrum,
& reliquorum polygonorum diametrum
maiorem, id eft, diametrum circuli pdly-
gono circumfcripti. Diametros enim mi¬
nores circulorum polygonis inferiptorum
tanquam miniis utiles miflfas facimus:
carum enim praecipuo, munere funguntur
quadratrices.
Omnis itaque numerus huius TabeUa vel
pro quadratrices vel pro diametro alicuius
polygoni accipi poteH. Si pro quadratrice a
dicetur quadratrix polygoni eiufdem Uneai
/i vero pro diametro fumatur , dicetur dia -
meter polygoni eiufdem columna •
C 3 Numeri
$’4 Liber secvkdvS.
&[f(mcrt (ivfdem columna,funt quadra*
trices polygonorum cnfciem diametrn& hfc
diameter di mmerus ibfit&M etufdcm co¬
lumna*
Tabella fecunda quadratri «
metrorum circulorum
Trig oni
IOOO
1241
111 }
1451
1476
149 ^
1504
1555
806
Tetrag.
IOOO
1090
II40
|1 69
ir88
739
917
Pentag,
IOOO
1045
I.O7.3
707
B 77
lio 3
1212
1253
UO3
1112
1149
95 7
HtXdg.
yooo
» -• ■
1 , 02 ( 5 ..
1043
a.
io 5 <5
1063
1100
689
855
932
> r-t-
Hepfag.
IOOO
1755 i 4 * 4 j I2 ^7
1240
1016
1029
1036
1072
1209
CaPVT TE8TITM. ^
Numen ciufdcm linea funt diametri po¬
lygonorum eiufacm quadratncis : & hac
ejuadratrix cB dextimus mrnicrm einfdem
linea*
cum polygonorum & dia-
iis circumicriptarum*
678
670
til
H}
570
S41
!il
82$
7 98
707'
9*7
907
900
870
77 »
9 ?9
947
940
909
806
984
27 i
1 9 35
827
eSfagotj,
>
IOOO
9 % 9
982
9 *o
841
IO II
' Nonago.
IOOO
992
90
8*0
1019
dcc&go.
1008
IOOO
9^7
S £7
Circuli
iof 4
1042
IO34
- -
IOOO
886
1189
117 « j
1167
1128
IOOO j
C 4
r $tf Liber sbcvnd vs.
Praecipua Analoga fecun¬
da? Tabula.
Theor. i.
V r millenarius ad quadratriccm no¬
minati polygoni datam : ita numerus
infimus columng illius polygoni, eiufdem
polygoni diametrum»
Theor, 2.
millenarius ad diametrum nominati
folygoni datam : ita numerus dextimus li¬
mea illius polygoni,ad eiufdem polygoni qua-
Theor. 3>
Duorum polygonorum eiufdem diametri
fit millenarius ad quadratricem primi: ita
numerus interceptus d columna primi &
linea fkttndi ad quadratricem fecundi •
Theor, 4.
Duorum polygonorum eiufdem quadra-
tricis ut millenarius ad diametrum prirnil ita
numerus interceptus a linea primi & colum¬
na fecundi ad diametrum fecundi ♦
Quia
C A p V T TERTIVM.
<z/fdmomtio.
Quiapraemifla partim ex fimili dodlri-
naprim^ tabula?, partim per exempla fe-
quentiuin problematum fatis perfpicua
fune 3 & propriis fuis exemplis non egent:
pro exemplis igitur theorematum proce¬
dentium, exempla fequermum fuorunj
problematum accipe. ‘
Problemata ufus fecundas
Tabvl^'
Prob. !♦
D Atd quadratrice nominati polygonis
eiufdm pokooni diametrum d&re.
Exemplum.
Detur quadratrix trigoni 806,'quaeri--
turejufdem trigoni diameter feu diameter
circuli circumfcripti huic trigono. Per
primum theorema erit ut 1000 ad 800 ?
quadratricem trigoni datam : ita 3755:,
(numerus infimus columno trigoni) ad ;
ejufdem diametrum qu^ficam. Ergo (per
compendium noftrwm, regul§ Trium) jun¬
ge deeuflatim odhiplum numeri* Sc
duas cyphras (propter numerum datum !
8 qo ) & fient 1404000 5 a quo numero 5
ablatis tribus dextimis figuris reflant 1404
pro diametro trigoni quofita , cujus qua-
dracrix dabatur 800i "
Probh 2.
'Dat4 dfdmetro polygoni nominati ^ ejuf*
dem qmdrairiom dare y
Q- 5
$$ Liber secvnd vs.
E x E M P L V M.
Detur diameter trigoni 1404, & quera¬
tur ejufdem trigoni quadrat rix, Per *
theorema erit,ut roooad 1404 diametrum
trigoni datam 5 fic s7o (numerus dextimus
Bine$ trigoni) ad quadratricem eiufdem
trigoni qu^fitam. Adde ergo quincuplum,
feptuplum, & cyphram numeri 1404, vel
fimplum , quadruplum, cyphram, & qua¬
druplum numeri sto decufiatim,& fient
800280, quarum abfeiffis tribus dextimis fi-*
guris, luperftint 800 pro quadratrice tri¬
goni qugfita, cujus diameter dabatur 1404.
F R 6 B L« I I 1«
Unorum polygonorum eiufdem diametri
data cjHadratriCt primi , quadratricem fc~
cHttdidarc i & fitriufjue diametrum .
Exemplum,
Sint duo polygoni eiufdem diametri,
primum circulus cuius quadratrix data fic
1204, & fecundum fit heptagonum,cujus
quseritur quadratrix. Per 3 theorema erit
ut millenarius ad J2oy quadratricem cir¬
culi datam; ita 933 (numerus interceptus
a columna circuli & linea heptagoni) ad
quadratricem heptigoniquafitam. Adde
ergo decuffatim noncuplum, triplum, 8 c
triplum. numeri iiq$i , vel fimplum , du-
CaPVT TERTI VM,
pium 5 cyphram, & quintuplum numeri
993,& fient 112426*, quarum abfciflis
tribus dextimis figuris, reflant 1124 pro
quadratrice hepragdni qiiffita. Diame¬
trum autem communem circuli & hepta-
goni per 1 Probi, venari poteris fi libet,
eltque 13^9 fere.
Probi. IIII.
Duorum polygonorum eiufdem quadra*
ttiert data diametro primi, diametrum fe¬
cundi & utYiufcjue cjtiadratrUem votas red¬
dere.
Exemplum.
Sint polygona, primum nonagonum,
fecundum circulus, .aequalia feu ejufdem
quadratHciSj deturque diameter nonagoni
1302 5 quaeritur autem circuli diameter.
Per 4 theorema ut fc habet 1000 ad
1302 diametr.iim nonagoni datam ; ita fe
habebit 949 (numeras interceptus a linea
nonagoni & columna circuli) ad diame¬
trum circuli quaefitam, Adde ergodecufifa-
tim noncuplum , quintuplum , & noncu*
pium numeri 13025 vel fimplurn,triplum,
cyphram,& duplum humeri 9*9, & fient
1248 618, quarum deletis tribus dextimis
figuris, remanent 1249 fere pro diametro
circuli quarfita. Communem autem ho-
nagont & circuli quadratricem,fi libet, per
i Probi ^ acquirere pateris, efiqdfe iiay
60)
Liber secvndvs.
Capvt IV. >
De inventione diametrorum &
laterum polygonorum per
tertiani Tabulam.
1 Ontinct hac tertia Tabula polygono¬
rum diametros & Uter a, eorumque ad
invicem proportiones . Omnis itaque nume¬
rus huius tabula vel pro diametro^vel pro
latere alieujus polygoni accipi poteB, Si pro
diametrOjdicctnr diameter polygoni eiufdem
line* : fi pro latere 9 dicetur latus polygoni
tiufdem columna,
Numeri eiufdem columna fiunt diametri
polygonorum eiufdem lateris j & hoc latus esi
numerus fupremus eiufdem columna *
Numeri eiufdem linea funt Ut era polygo¬
norum eiufdem diametri: & h$:c diamet er
primus numerus eiufdem linea.
Praecipua Analoga tertiae
T A B U L JE *
Tbeor. i.
T millenarius ad.diametrum nomina*
ti polygoni datam : ita numerus fiipre-
mus columna illius polygoni #4 eiufdem poly
goniiatHU
VtmiU-
C A p v T QJV A R T V M f 61
Thcor. 2*
ZJt millenarius ad datum latus nominati
polygonii ita numerus primus linea ilhuspo¬
lygoni adeiufdem polygoni diametrum %
. . Theor. 3,
Duorum polygonorum eiufdem Uteris ut
millenarius ad diametrum primi: ita nume¬
rus interceptus a columna primi & linea fe¬
cundi ad diametrum fecundi ,
Theor* 4» ~
‘Duorum polygonorum eiufdem diametri
ut millenarius ad latus primi: ita numerus
interceptus d linea primi & columna fecundi
ad latus fecundi,
Pro praecedentium exemplis accipe ex¬
empla problematum fequentium 3 qu£ illo¬
rum etiam -fune..
Problemata ufus tertia Tabulae»
Prob. 1.
D Atd diametro majore nominati poly¬
gonii latus ejufdewpolygoni invenire »
Exemplum,
Sic diameter pentagoni data 54 6 , 8 c
queratur ejufdem latos* Per primum theo»
remaeritut 1000 ad ^36 diametrum da¬
tam; ita $88 (numerus fupremus column^
pentagoni) ad eiufdem latus quantum.
Ergo (per compendium.regula» T t i v m )
quincuplo, o&uplo j & o&uplo numeri 3
m* vel quin tuplo^ triplo 3 U fexttiplo ■
rnwnerr r
6z Liber secvnbvs.
numeri 588 decuflatim additis, prove-
nientinde 3 15168, a quibus abdrahendae
funteres noviffim§ figurat, & reftant^i^
pro latere pentagoni quatfito, cuius maior
diameter dabatur $ 36.
T ab di a tertia laterum poly-
circulorum iis
IOOO
866
7°7
588
11
'i rigom
IOOO
817
676
1414
122 ^
Tetragoni
1000 !
832
1700
1472
I 202
'T en t agoni
IOOO^
2000
I732
1414 ^
1176
»
2304
i
1 99*
1629
13??
.-
'
2614
2264
1848
: 1*37
2929
M37
2071
I 722
\>»>
C\
1 ' '
1
O
OC
2288
1903
\
*/
C A P v T Q_VA8 tN,
Probi. I I.
Bato latere m\ninati polygoni ^diametrum
eiufdem maiorem rcpeyire.
gonorum & diametrorum
circumfer ipt orum.
, $00
434
i 383
34 2
’ 309 |
$77
$01
442
394
3?7
707
614
1
$ 4 *
. 483
; 437
8$o
738
0
580
;
$2$
htxago,
; 1000
868
765
684
6l8
Il$2
Heptag.
IOOO
: 881
786
712
1307
1134
; offagon.
IOOO
891
807 ;
■
: H '* 2
1271
1122
Nonage.
IOOO
904
1618
1 1401
12^9
I 107
Decago.
IOOO |
c>4 Lipersecvndvs,
Exemplum.
Sit latus pentagoni datum 3 i? 5 &' quse-
ratur ejufdem diameter. Per z theore-
ma,eritut 1000 ad datum latus 3 15;: ita
1700 (numerus primus lirref pentagoni)ad
ejufdem diametrum quariitam. Vnde tri¬
plum, fimplum, &r quintuplum numeri
1700: vel fimplum, feptuplum, cyphra,&
cyphra nunaeri 315- decufifatim addita,
producunt ? 35500: qua? minuta tribus
dextimis notis reddunt ^3 6 fere pro dia¬
metro pentagoni quaefita, cujus latus da¬
batur 315.
Probl^.
Duorum polygonorum eiufdem Uteris ^da¬
ta diametro primi , diametrum fecundi 3 &
mriujque latus commune invenire ♦
Exemplum.
Sint duo polygona ejufdem lateris, pen-
tagonum primum, & trigonum fecundum.
Pentagoni detur diameter ^36 , trigoni
vero diameter quarratur. Erit (per tertium
theorema) ut millenarius ad 53 6 diame¬
trum pentagonidatam : ita 679 (nume¬
rus interceptus a columna pentagoni &
linea trigoni) ad diametrum trigoni quxfi-
tam.- Itaque quintuplum, triplum,& fex-
tuplum numeri 679 *. velfextuplum, fep-
suplum, & ncmcuplyra numeri 5 3 $+• Ad*
dita-^
\
C :A PVT <^V A R T V M. -
dica decuiTadm, &t minuta tribus dexti¬
mis liguris producunt 364 fere pro dia¬
metro trigoni quaefita. Si pneterea Iasus
commune utriufque qucefiveris, invenies
illud perprimam problemaelTe 3if a ut
fupra.
Probi. 4.
'Duerum polygonorum eiufdcm diame¬
tri , dato Uter: primi, latus fecundi^ &
utriufque communem diametrum invenire •
Exemplum*
Sint pentagonum & trigonum cjufdem
diametri: pentagoni pro primo detur litus
315, trigoni pro fecundo quaeratur latus*
Per quartu theorema erit ut 1000 ad 3 i $
pentasoni latus datutm ita 1472 (nume-
t-- - • r—^ r vw.>a im\.A oc colu¬
mna trigoai)ad trigoni latus quaefitfi. Ad¬
de ergo decuiTatim, triplum, fimplum , &
quintuplum numeri 1472 ( vel contra il-
liuspro hujus multipla) & provenient in¬
de 463680, vndeabfciflis tribus dextimis
reflant 464 fere pro latere trigoni qusdi-
to. Si praeterea communem utrimque
diametrum quaefiveris, eam per 2 proble¬
ma invenies elTe ?36.
Admonitio.
I TSfnumeri fmt dii harum & fubfe-
c» nentium Tabularum zfus , quorum qui¬
dam particularibus numeris proprie in¬
cidunt ( ut numerum datum quam pro¬
xime
66 ' Liber secvndvs.
xime fecareper extremam & mediam ra¬
tionem virtute trium numerorum tertia ta -
buU 6 i%, iooo, & 1618.) Quidam ve¬
ri dhi ufuj miIc ellanei funt. & ex fuger iori-
bui theorematibus componuntur (ut quatuor
polygonorum t trigoni & pentagoni eiusdem
latens i pentagoni & heptagom ciufdem qua¬
drat r i eu, bcp tag oni &no nugoni ciufdem ■dia¬
metri^ dato unico cniufvis latere , qtiadra-
trice, vel diametro, reliquas omnes reliquo¬
rum omnium dare.) Quos vfns quivis in*
genit mediocris per fe mtelliget ex prami jjis:
ncTLj enim omnes harum ujus caperet hgc
brevis epitomey nec in ea tnfi nuimus Arith¬
meticam 3 er Geometriam, fed virgularum
tantum m iu ujum ctoccre,
■ ' ” ■ ' / .
HaUemu latera, quadr dirues, & dia-
metro; polygonorum invenire docuimus: fu-
perefl de inventione Ut erunt, cnbdtricum ,
& diametrorum corporum quinque regula¬
rium, & fpbara,fequentibus his tribus ta¬
bellis differ ere*
Capvt
C A P V T V.
De lateribus & cubatricibus quin¬
que corporum regularium in¬
veniendis per quartam
Tabviam,
Q ZJarta T abula (qua & prima St ereo-
metricarum dimcnfionum e fi) conti¬
net /atera & cubatrices quinque corporum
regularium. Omnis itaque numerus bujm
tabelU vel pro latere } vel pro cubatrice ali «
cujus corporis regularis accipi pote fi: [i pr§
Uterey dicetur latus corporis regularis ejuf-
eiem Iweaiji pro cubatnce , dicetur cttbatrix
corporis regularis ei nfelem columm «
yftmcYi eiufdem colktmtk fmt latera
corporum regularium emfekm cubatrias'. <&
hac cubatrix esi numerus medius eivjdem
iolumna .
Numeri eiufdem Une a funi cubatrices
Corporum eiufdem lateris : & hoc latus efl
Humerus me ditis tidfdem liried*
V.
Praecipita analoga 4 Tabula?.
Tueo r. I. *
T millendrtm ad latus datum cor -
potis regularis nominati: tta numerus
medius
48 vtlBER S B C V N D V S.
medius columna illius corporis ad eiufdem
corporis regularis cubatricem,
Theor. II,
Vt millenarius ad cuba tricem datam
corporis regularis nominati: ita numerus % me¬
dius linea illius corporis ad lattis eiufdem
corporis^ -
Theor, III.
Duorum corporum regularium pqua¬
lium feti eiufdem cubatricis r jt millenarius
ad latus datum primi: ita numerus interce »
ptus k columna primi x? linea fecundi ad
latus fecundi .
Xabelli qudrM ' Uterum & cubatri *
cum quinque regularium corporum.
Tetrae.
IOOO
*•*
co
_
2040
'
2689
• '
4088
<J30
0 ifaed.
IOOO
128?
i<j 94
*?7?
490
778
pabus.
IOOO
1318
2003
37*
*90
7*9
leopied.
IOOO
1*21
24^ (
38S
1 499
6*8
“D odec.
IOOO
Caf.vt i ntv m,
Theor. IV.
Duorum corporum regularium emfdem
Uteris, ut millenarius ad cubatnccm primi
datam: ita numerus interceptus a linea pri¬
mi & columna fecundi ad cubatricem fi -
eundi.
Problemata ufus quarta*
T a b v L -fi.
Prob,i.
D A T o latere corporis regularis no¬
minati 3 eiufdem corporis cnbatricem
dare .
Exemplnm.
OIt Oflaedri latus datum 4?2,ejufdem
^quaeritur cubatrix.Per primum theore¬
ma ut fc habet millenarius ad 4^2 latus'
O&aedri datura : ita 778 (numerus me¬
dius columnae OsStaedri) ad cubatricem
ejufdem quffitam. Vnde fumma ex qua¬
druplo, quincuplo, & duplo numeri 778t
vel feptuplo, feptuplo, o&uplo numeri
4$2 additis decuifatim, minuta tribus
dextimis figuris, eft 35-2 fere, cubatrix
fcilicet petita O&aedri f cujus latus daba-
sur 452»
Frob.
7 ® Liber sbcvndvs.
P R O B L. I I.
Data cubatrice corporis regularis nomi -
^aii } ejujdem corporis latus invenire ♦
E x e m p l v m.
Sit o&aedri cubatrix 351 data, eiufdem
latus queritur. Per a theorema ut fe ha,
bec millenarius ad 3 cubatricem oftaedri
dacatn: ita fe habebit 1185 (numerus me¬
dius Imeat o&aedri) ad eiufdem o&aedri
latus qu^fitum. Vnde tnplum 3 quintuplum,
& duplum numeri 1285" ( vel contta illius
pro hujus multipla ) decurtarim addita &
miuuta tribus dextimis notulis producunt
latus odaedri quxiitum,cuius fcilicec
cubacrixdabatur 352.
ProBl. III.
Duorum corporum regularium aqualium
[eu eiufdem cubatricis , dato latere primi , la¬
tus etiam fecundi, & utriufque cubatricem
communem invenire.
Exemplum.
Sint duo corpora ^qualia, o&aedrum
primum 3 &icofaedrum fecundum: odtae-
dri latus detur 452 , icofaedri quatritur.
Per 3 theorema ycfe habet millenarius ad
45'z latus o&aedri datum: ita ^90 (nu¬
merus interceptus a columna o&aedri &
linea icofaedri) ad latus icofaedriquatfi-
tum. Vnde quadruplum, quintuplum, &
duplum numeri S 9 °* vel quintuplum,non-
cuplum.
C A P v T QJV IN TVM.
rupium, & cyphra numeri 451 additade-
cuffatim , & minuta tribus dextimis notis
producunt 167 fere pro latere icofaedri
quxfito* Ceterum utriufque cubatrU
communis (quat ell 351) per 1 Problema
acquiritur*
Probi. -IV.
Duorum corporum regularium ciufelem
Uteris date cubatrice primi , cubatricem
etiam fecundi, & vtriufque commune latui
acquirere.
Exemplum.
Sint duo corpora regularia eiufdem la¬
teris odaedrum & icofaedrum: odaedri
cmbatrixdetur 3 -^icofaedri autem que¬
ritur* Per 4 theorema ut millenarius fe
habet ad 3*2, cubatricem odaedri datam:
ita 1694 (numerus interceptus a linea
odaedri & columna icofaedri) ad cuba¬
tricem icofaedri quaefitam. Vnde triplum,
quincuplum , & duplum numeri 1694
(vel contra) dccufiatim addita, & minuta
tribus dextimis figuris producunt $96 pro
cubatrice icofaedri quadi ta. Vtriufque
pr^terea latus commune per z Probi, re-
peritur 4^2, ut fupra.
CaPvt
Liber sicvndvs.
7 Z
C A P V T VL
De inventione cubatricum & dia-
metrorum regularium corporum,
& fphsera per quintani
T A B V I A M*
C Ontinet hac Tabula regularium cor -
parum cubdtvices & diametros , quas
qmA jphxra etiam habent 3 fpharam igitur
inter huius tabula corpora regularia mme-
Ydmiis* rper corpora itaque regularia hic
intellige etiam Jpharam , dr per diametros
corporum regularium intelltge Jphara dia -
metrum , & reliquorum corporum regulam
rium diametrum , majorem fcilicet (omtjjis
aliis diametris minus utilibus) diametrum
Jpbara regulari corpori circumfcriptre.
Omnis itnqne numerus huius tabula vd
pro cubatriceyuel pro diametro alienius cor -
foris regularis accipi poteH. Si pro cubatrU
ce , dicetur cubatrix corporis regularis eiuf-
dem linea: fi pro diametro t dicetur diameter
corporis regularis e juf dem columna .
Numeri ejufdem columna furit cub atri»,
ces corporum regularium eyifdem diametri :
&hac diameter efi numerus infimus eiufdem
columna*
Nu-
Capvt sbxtvm. 73
Numeri eiufdem line* funi diametri cor -
prum eiufdem cubatricis: & hac cubatrix
esi numerus dextimus ciufdem lineet ,
Praecipua Analoga quin¬
ta? TabUl^E*
Theor. i*
V T millenarius ad cubatrkem datam
nominati corporis regularis : ita nume¬
rus infimus columne illius corporis ad dia¬
metrum eiufdcm corporis »
Theor* 2«
Vt millenarius ad diametrum datam
nominati corporis regularis : 'tta numerus dex¬
timus linea illius corporis ad cubatriccm
eiufdem corporis,
Theor. 3 .
Duorum corporum regularium eiufdem
diametri ut millenarius ad cubatrkem primi
datam: ita numerus interceptus a columna
primi & linea fecudi ad cubatrkem fecundi »
Theor* 4.
Duorum corporum regularium eiufdem
cubatrids ut millenarius ad diametrum pri¬
mi datam l ita numerus interceptus d linea
primi & coluMM fecundi ad diametrum fe¬
cundi*
D T abditi
74
Liber secvndvs
Tabella quinta cubatricum quinque
regularium corporum t &diatnctrorum
fph&rarum iis circumfer ipt arum %
. Tetrao.
IOOO
717
691
577
$6o
496
400
‘ 1376
Offae.
IOOO
953
79 4
769
683
$50
1443
1049
£ubus
IOOO
833
807
716
577
I 73 Z
ll6o
1201
Icofae.
'IOOO
970
8<<o
693
1437
1300
1238
I03T
dodec.
IOOO
887
71 5
ioiy
14 6s
1196
«
ir£3
1127
Sphar.
IOOO
80 6
14 99
1B r 7
i73 z
H 43
1399
1241
IOOO
Problemata ufus quinta
T A B uil.
D
Probi* I*
Aia, cubatrice corporis regularis no -
mimi i j eiufdem corporis diametrum
Exem
Capvt sextvm, J $
Exemplum.
S It 0£hedricubatrixdaea 35'a,ejufdem
queritar diameter. Fer i theorema ut
fe habet millenarius ad 371 cubatricem
O&aedridatami ita 1817 ( numerus infi¬
mus coltimn^ O&aedri) ad diametrum
ejufdern ^qua?iitam. Vnde fumma ex tri¬
plo, quintitplo, & duplo numeri 1817 (vel
contra refpedlive) additis decufiatim,mi¬
nuta tribus dextimis figuris , quse eft
eft diameter petita o6taedn 5 cujus cuba-
trix dabatur 331*
Probi. II.
T>atk diametro corpus regularis vtomU
Mi i, eiufdem corporis cubatricem invenire*
Exemplum.
SitOfraedri diameter 639 data, ejuf»
dem cubatrix queritur. Per a theorema
ut fe habet millenarius ad 639 diametrum
Odlaedri datam, ita fe habebit nc^nume-
rus dextimus line* O&aedri) adejufdeni
Odaedri cubatricem qu^fitam. Vnde mu
meri 619 quincuplum , quintuplum & cy-
phra (vel contra numeri 730 fextuplutn,
triplum, 8c noncuplum ) decuffatim addi¬
ta, & minuta tribus dextimis notis produ¬
cunt 3?i fere 5 cubatricemOdl:aedri qusefi-
tam } cuius fcilicet diameter dabatur 639,.
Pro b l* III.
Duorum corporum regularium twfdem
3D a dm«
jG Libis sb-cyndvs.
diametri, data cubatrice primi, cubatriccm
etiam fecundi & Htmfyus diametrum com¬
munem invenire.
Exemplum.
Sine duo corpora ejufdem diametri,
Odtaedrum primum, &Icofaedrum fecun¬
dum: Odaedri cubatrix detur 3f2,Icofae-
dri queritur. Per 3 theor. ut fe habet mil¬
lenarius ad 351 cubatricem Odaedri da¬
tam: ita 1260 (numerus interceptus a co¬
lumna odaedri & linea icofaedri)ad cuba¬
tricem ieofaedri quaefitam. Vnde triplum,
quintuplurri, & duplum numeri 12,60, vel
fimplum.duplumjfextuplumj&cyphra nu¬
meri 35:2, additadecudatim 3 & minura tii-
bus dextimis notis producunt 444 fere,pro
cubatrice icofaedri qu^fita. Ceterum ucri-
wfque diameter communis, qu$ eft 6 3 9,
per x problema acquiritur.
Probi. 4.
Duorum corporum regularium eiufdem
zubatricis >datd diametro primi, diametrum
etiam fecundi, & utriufjue communem cu*
batricem acquirere.
Exemplym*
Sint duo corpora regularia ejufdem cu.
batricis odaedrum & icofaedrum ; odac>
dri diameter detur 6 $9, icofaedri autem
quseritur- Per 4 theorema ut millenarius
fe habet ad 639 diametrum odaedri da»
tam: ita 794 (numerus interceptus a linea
odaedri
CaPVY ^ JJ-
©$aedri& columna icofaedri) ad diame¬
trum icofaedri qu£{itam»Vndcfextuplum 9
triplum , & noncuplum numeri 794 ( v ^
contrajdecufifatim addita, & minuta tri¬
bus dextimis figuris producunt 5°7» dia¬
metrum icofaedri quaslitam* Vtriufque
praeterea cubacricem communem per a
problema invenies 351, ut fupra.
Capvt VII.
De diametris & lateribus quinque
corporum regularium per fex-
tamTabulam inveniendis»
C Ontinct hac Tabula[exta, regularium
corporum diametros maiores & Ute¬
ra, eorumqite ad invicem proportiones.
Omnis itaque numerus huius tahtiU Vtl
vel pro diametro , vel pro latere alicuius re¬
gularis corporis accipi poteH. Si pro diame¬
tro , dicetur diameter corporis eiufdem linea:
fi pro latere , dicetur latus corporis regularis
eiufdem columna .
Humeri e juf 'dem columna funt diametri
corporum regularium eiufdem lateris: & hoc
latus efl numerus fupremus eiufdem co¬
lumna*
B 3 NumtA
78 Liber' secvndvs.
( JS[umeri eiufdem linea funt Utera regu-
larium corporum eiufdem diametri) & hac
diameter eB primus nitrMrtu eufdem linea.
v
Praecipua analoga 6 Tabula?.
T H E O R, I.
T millenarius ad diametrum nomina ■
ti corporis datum: ita numerus fupre -
mus columna illius corporis^ ad cor pons (jnj-
dem Utus*
V-Theor. II.
ZJt millenarius ad datum latus nominati
corporis regularis: ita numerus primus linere
illius corporis, ad corporis eiufdem diame¬
trum*
Theor. III.
Duorum corporum regularium ciufdeus
lateris 9 ut millenarius ad diametrum pnmii
ita numerus interceptus a columna primi &
Une a fecundi ad diametrum fecundi,
Theor. IV*
Duorum corporum regularium eiufdem
diametri ut millenarius ad latus primi:, ita
numerus interceptus d linea primi & colum¬
na fecundi ad latus fecundi ♦
Taklla
C A P V 'T S E T J M V M
79
‘TdbelU fexta laterum quinque regu -
larium corporum^ diatnetroru Jpha¬
rarum iis cir cumfcript arum*
| IOOQ
i
817
|
707
577
$26
3*7
Tetrac .
IOOO
966
707
643
437
| IZZ ^
' I4I4
1035
0 Efaed .
IOOO
817
742
$0$
1732
1414
122$
(
gublti .
IOOO
909
618
1902
1???
1347
1099
Ice / atd -
IOOO
679 j
] 1802
2287
I98l
Id l8
1 1473
dodtcA. I
IOOO 1
Problemata ufus fexta*
TabHlae,
Probl. I.
Aid diametro corporis regularis nomi¬
nati^ eiufdem corporis latus dare .
Exemplvm.
Sit Odaedridiameter 639 data, qaasn-r
D 4 tur
g© Liber secvndvs*
tur autem eiufdem latus. Per i theor. ut
fe habet millenarius ad e?3 9 diametrum
©daedri datam:ita 707 (numerus fupre-
mus columna? odaedri ) ad latus odaedri
qugfitam. Vnde fextuplum, triplum, &
noncuplum numeri 7o7;velfeptuplum, cy-
phra, & feptuplum numeri 639 addita
decuflatim^&minutatribus dextimis figu¬
ris producunt 4 $Z fere, pro latere odae-
dri cuius diameter dabatur
ProbU a.
^Dato latere regularis corporis nominati ,
eiufdem corporis diametrum invenire .
Exemplnm,
Sit odaedri latus datum 45^, eiufdem
autem diameter quseratur. Per a theor.
ut fe habet millenarius ad 4*2 latus odae¬
dri datum ^ ita fe habebit 1414 (numerus
primus lineat odaedri) ad eiufdem odae-
j:-—,»»»••.** — - —
plum,quintuplum s &duplum numeri 1414
(vel contra) decuffatira addita 5 & minuta
tribus dextimis figuris producunt <>3 9 pro
diametro odaedri qugfita 5 cuius latus da¬
batur 452.
Prob. I*
Duorum corporum regulmum eiufdem
lateris data diametro primi , diametrum
etiam fecundi & utriufque latus commune
Acquirere*
Exem-
Ga*vt septimvm* frt
Exemplum*
Sint duo corpora regularia, primum oc-
taedrum, fecundum icofaedrum eiufdem
lateris? odaedri diameter detur 639 ,ico«
faediri quaeratur. Per 3 theorema ut fe
habet millenarius ad 6^9 odaedri diame®
trum datam; ita 1347 (numerus intercep¬
tus a columna odaedri&linea icofaedri)
ad diametrum icofaedri qu$fitam, Adde
ergo decufTatim fextuplum , triplum 9 &
noncuplum numeri 1347 (vel contra) & a
produdo abftrahe tres dextimas figuras s &
provenient inde 8 61 fere, pro diametro
icofaedri quaefita.
Si pmerea commune utriufque latus
invenire defideras, illud per 1 probL de¬
prehendes elTe 4ya.
Probi. IV.
*Zduorum cordorum regularium eiufdem
diametri dato Utere primi,latus etiam fe«
eundi, & utriufque communem diametrum
acquirere.
Exemplum.
Sint duo corpora regularia, primum ee®
taedrum, & fecundum icofaedrum eiuf*
dem diametri: odaedri latus detur 452^
icofaedri queratur latus. Per 4 theor.
ut fe habet millenarius ad 4^2 odaedri la¬
tus datum : ita fe habebit 744 ( nume¬
rus interceptus a linea odaedri, & colu¬
mna icofaedri) ad latus Icofaedri quaefc.
tum. Adde ergo decufTatim quadruplum»
P f ; quiri**-
\
$ Z L I B E K SECVNDVS,
quintuplum , & duplum numeri 741, vel
contra feptupium,quadruplum,& duplum
numeri a produtto 335*384 abftrahe
tres ultimas figuras ) & reltabunc 33? pro
iatere Icofaedri quadito, Vtriufque com¬
munem diametrum 639 per a problema
invenies®
Gap vt VIII.
De ponderibus, & magnitudini»
* bus Metallorum inveniendis.
H /lcdenus pracipuastum planorum,tum
corporum dirues fio?? es expedite & fa¬
cili compendio invenire docuimus . Libet
rame de cJMet aliorum & lapidum ponderi -
Lm (y magnitudinibus s eorumque ad invi¬
cem proportiombm(quaru?n apud echa-
nicbos frequens esi ufus) hac Tabella frpti a
madtffererc*
Tabellas feptima? deferiptio.
Eptima Tabella et aliorum & frfrt-
^ dum nomina cum fuis millenas s is u ca¬
pite ad calcem decufatim de frendent m : c orn-
plcUituY' eorundem etiam elidet aliarum &
Capvt gctavvm.
Lapidum pondera juh numero drachmarum 9
Cr magnitudines fuh numero cochlearium
continet . Drachma omnibus edi odava
pars unciae. Cochleare hic a nobis vfut-
potum efl pro menf %ra liquidij quod a decem
auri drachmis in vas liquore plenum injeci ic
expellitur. ZJnde pro diverfitate provincia*
rum variata drachma, variatur & etiam
cochleare: numen tztmeru drachmarum &
cochlearium qui iru Tabula exprimuntur 9 -
eorumque ad inuicem rationes femper inva
riabiles manent %
Omnis ituque numerus hujus Tahulo vel
pro drachmis ponderis *vd pro cochlearibus
magnitudinis feu capacitatis alicujus metal¬
li & lapidis accipi poteH* Si pro drachmis ,
fiamficqiL drachmas metalli vel lapidis eiuf*
dem coiumno ♦ Si pro coi hlearibus , /igni-
ficata cochlearia metalli, aut lapidis eiufdem
linep *
Numeri eiufdem columna funt cochlea¬
ria metallorum vel lapidum eiufdem ponde-
ris: & drachma huius ponderis furit nume¬
rus infimus eiufdem columne.
Numeri eiufdem linea furit drachma pon¬
deris metallorum & lapidum eiufdem mag¬
nitudinis', & cochlearia hujus magnitudinis
numerus dextimus eiufdem linea* -
L r -B E £ ' SE C VN D V$.
Praecipua Analoga fepti-
mae Tabula
T H fi O R. I.
"T 7 T* millenarius ad cochlearia capaci*
| Y tatis metalli aut lapidis nominati' ita
numerus infimus columna illius metalli ad
drachmas ponderis eiufdem •
Theor. 2.
^ millenarius ad drachmas ponderis
metalli aut lapidis nominati : ita numerus
dextimus linea illius metalli ad cochlearia
capacitatis eiufdem ♦
Theor. 3.
Duorum metallorum aut lapidum ejuf-
dem ponderis ut millenarius ad cochlearia
capacitatis primi: ita numerus interceptus d
columna primi & linea fecundi ad cochlea¬
ria capacitatis fecundi.
Theor* 4.
Duorum metallorum aut labidum eiufdem
magnitudinis ut millenarius ad drachmas
ponderis primi: ita numerus interceptus d li¬
nea primi & columna fecundi ad drachmas
ponderis fecundi.
Problemata ufus 7 Tabulae.
Proh*1.
D i Atis cochlearibus capacitatis metalli
' nominati aut lapidis l drachmas pon¬
deris eiufdem dare*
?. •
C A P V T OCTAVVM» 2 $
Exemplum*
Statuae argentexproplafma metitur ea»
pacitate f6z cochlearium: quaeritur quot
drachmas pendat ftacua ? Erit per i theo¬
rema ut millenarius ad yfo cochlearia ca¬
pacitatis data : ita $990 (numerus infimus
columnae argenti) ad drachmas ponderis
eiufdem quaefitas, Vnde quintuplum, fex-
cupluai, & duplum numeri $990 (vel con¬
tra, & c.) Addita decuflatim, & minuta
tribus dextimis figuris producunt #66 pro-
drachmis ponderis ftatuae quaefitis 3 cuius
capacitas dabatut 562. cochlearium.
Probi* 2.
Datis drachmis ponderis metalli aut la* r
pidisycochlearia capacitatis eiufdem aequi*
rerct
Exemplum*
Oblata eft fiatua argentea pendens
#66 drachmas, quaeritur quot cochlea*
rium magnitudinem habeat £ Per fecun¬
dum theorema erit ut millenarius ad 3366
drachmas ftatuae datas s ita 167 (numerus
dextimus lineae argenti) ad cochlearia ca¬
paci tatis quaefita.
Vnde fimpium, fextuplum, & feptu-
plumnumeri 33 66 (vel contra^ &c.) ad¬
dita decuflatim, & minuta tribus dextimis
notis 3 producunt 561 pro numero cochlea¬
rium capacitatis ftatuae quaefito 3 cuius pon¬
dus dabatur #66 drachmarum.
Prob.
96
Liber s ecvn d vs.
ProBl, III.
Duorum metallorum aut lapidum ciufdem
pmderis^dato numero cochlearium capaciter
tis primi , cochlearia capacitatis fceundi, &
drachmas ponderis vtriufque invenire .
T ah di a feptima m agnitu*
tallorum £?
| Aurum
IOOO
747
644
595
470
I 24.0
Hydrar.
1000
862
803
630
1554
1160
‘Tlumb,
1000
931 '
730
1670
1247
IO“T<
vArgent.
IOOO
?8<
2 127
llM
1369
I 274
c /dis.
IOOO
2446
1826
1574
1150
I929
1663
1548
1.21$
g 45 i'
4830
4 1 47 |
3875
; wk
,943 3
7042
4 o 6 o
5416
4405
10000
74 «?
< 43 ?
5990
4700
CaPV'T OCfAVVM, 87
Exe mp L V M.
Sificduo formularum exemplaria, nem¬
pe columnae machinae bellicae, aut alterius
rei praeclare eiufdem ponderis % quorum
primum ex ftanuo capacitatem habeat 551
cochlearium,fecundum ex aere,cuius capa-
dinum & ponderum CMe-
Lapidum.
/fOD
387
lee
106
100
$,48-
vl
207
142
IJ 4
6 3 S
• -
401
241
16$
6 lz
646
2 J1
178
167
870
Ferrum.
IOOO
823
! 946
329
380
227
261 ,
2 T 3
24* |
I0 S 7
Stann%.
IOOO
402
27 6
359 f.
2630
2487
marmor
IOOO
688
<Hs j
3830
3622
i 4?3
lap.vul.
IOOO
943
4088
1
IS'49
! 1060
IOOO 1
82 LlBIR §I€?HO.?S.
citas queritur. Per 3 theorema,ut fe ha«
bec millenarius ad 511 cochlearia capa¬
citatis (iannei exemplaris data : ita 823
( numerus interceptus a columna ftanni&
linea aeris) ad cochlearia capacitatis jerei
exemplaris qu$(Ita, Vnde o&uplum, du¬
plum^ triplum numeri yjrr: vel quintU-
plum J qumtuplum,&’(impiumnumeri 823
decuffatim addita, & minuta tribus dexti¬
mis figutis producunt 4 * 3 > cochlearia ca¬
pacitatis aerei exemplaris qu^fita,
Vtriufque autem exemplaris commune
pondus per 1 problema invenies e(Te 2131
drachmarum.
Probi. 4.
Duorum metallorum aut lapidant einf*
dem capacitatis , datis drachmis ponderis
primi^drachmas ponderis fecmdij&utriufq*
capacitatis cochlearia invenire.
Exemplum.
Sint metallorum primum, Pannum, ex
quo fufum eft exemplar machina minufcu-
lum 113 1 drachmarum: fecundum fiteiuf-
dem capacitatis& in idem proplafma
fundendum ex aere cujus queratur pon¬
dus. Per 4 theorema erit ut millenarius
ad 2131 drachmas ponderis ftannei exem¬
plaris datasjita 1215- (numerus interceptus
a linea Panni & columna aeris)ad drachmas
ponderis aerei exemplaris fundendi quscfi*
tas. Vhdc duplum, (impium, triplum, Sc
fimplumnumeri 1213 *• vel (impium, du¬
plum > (impium , & quintuplum numeri
2.132
C A P V T OCT 'S
2,131 addita decuftatim , &r minuta tribus
dextimis figuris, producunt drach¬
mas 5 pondus aerei exemplaris quxfitum.
Vtnufque autem exemplaris capacita-
tem communem per 2 problema invenies
efTejfi cochlearium.
Admonitio.
P Rxtcr hos fimplices Theorematum ^ (3?
‘Problematum ufus , qui ex aqualitate
quadam pendent * occurrunt alii plurimi ex
his compofttii & qui ex iruqualitate prove¬
niunt. Qualis cB folutio ^equentis qua*
Bionis.
Dato exemplari machina!’ minufculo e%
ftanno drachmas 2131 pendente, cujus ca¬
pacitati (cochlearium fcilicet) machina ip-
fa exsere fundenda fit in ratione millecu-
pla : queritur futurae machinae pondus,
Refpondetur,fi aerea machina foret eiuf-
dem capacitatis cuius eft exemplar ftan-
neum, capacitatem haberet 55 1 cochlea-
ituui) wv tisuiuui i)oy
ut per praecedens 4 problema patet. At ex
hypothefi eft millies major exemplari.
Millecuplam ergo capacitatem & millecu-
plum pondus habebit, videlicet capacita¬
tem 551000 cochlearium 9 & pondus
2589000 drachmarum.
Longitudines tamen,& diametri^Sr car-
tera lineamenta machina? non erunt ad fi-
milia lineameta exemplaris in ratione mil-
lecupla. fed decupla tantum, at ex Euclide
lib.5,definit. 10. & lib.ii.propof,33.patet.
At quia
90 Lib.II. Ca p„ V111«
At quia ha?c omnia fufius tranare non
eft huius loci; qua^ftiones ergo has 3c fi mi¬
les , qua? es pramrifiis fimplicibus theore¬
matibus pendent, miffas faciamus, &■ Rab-
dologue noffra? finem hic imponamus.
Laus omnis & gloria Dbo fo-
li tribuatur, Amen.
9 I
DE EXPEDITISSIMO
MULTIPLICATIO¬
NIS PROMPTVA-
rio Appendix.
PR^F ATIO,
ZJamvis omnium ultimo a
nobis inventum Jit hoc
cJ%f ultiplkationisprom p-
marium: mru tamerupo-
Hremnm huius operis lo~
JEins enim beneficio multi**
plicationes omnes , epudniumcuKipue ardua &
'prolixa, facillime & promptijfime expediun¬
tur ♦ Divifiones etiam omnes per idempromp -
tnarium perficiuntur : prius tamen per fi*
vuum, tangentiumfiecantmm, aut fecun¬
di huius libn Tabulas , tn multiplicationes
converfia. Idcirco calci fecundi libri tan -
ejuam debitofiuo loco cius trabhitum (ubim*
gere libuit : initio fiumpto ab eius fabrica ♦
Capvt
n
A P H N D n,
C A P v T I.
Do lamellarum promptua¬
rii fabrica .
F Iant ex ebore, aut materia quavis
folida& alba, lamellg centum pro nu.
meris fub 100000 fex locorum invi¬
cem mulciplicandiSjfeu plures, velpaucio-
res pro ratione numerorum multipli¬
candorum : nos autem pro numeris (ub
ioooooooooo undecim locorum eligimus
ducentas. Fiant itaque h$ ducenta? latitu¬
dine unius digiri 5 longitudine undecim di¬
gitorum, quarum maior margo conflet
duabus tertus , minor margo una tertia
digiti: interftitium autem medium inter
margines cxa&iflime dividatur in decem
areolas quadtaras. Et lamellf centum
craflitiem habeant quarta? partis digitirre-
lique centum dimidio graciliores fine, aut
amplius pro ratione materi§.Centum craf-
fiorum qualibet ob oculos ita collocetur,
* ut maior margo fuperior fit, minor vero
inferior,&pe£tus tuum fpedet,unde etiam
dire#*, vocantur:graciliorem autem fingu-
Ia? marginem maiorem habeant verfus de¬
xtram, minore verfus finiflramfitu fcilicet
priori tranfverfo, unde etiam tranfaerfa di¬
cuntur»
Capvt tertivm, ^ 93
cuntur.Dcindein omnibus lamellis fic col¬
locatis, ab angulo finiftro & inferiore ««-
iufque quadrati ad angulum fuperiorem &
dextrum eiufdem, ducantur confpicuae
diagonales bnc^, quse quodque quadra¬
tum bifariam in duo triquetra dividant*
Inde cujufque quadrati longitudine & k-
titudine tripartitis, ducantur lineae delebi¬
les pet oppofita divilionum pundla, qu«
quodque quadratum in novem areolas
quadratas divident: quarum rurfus Un¬
gulae, per delebiles diagonales lineas prio¬
ri diagonali conlpicuae parallelas, bipar¬
tiendas fune in duo parva triangula, quae
loca vocamus.
Continet ergo quodque triquetrum no¬
vem loca : quas, do&rinae gratia, funt no¬
vem literis abcdefgbi delebilibus
eo ordine inferibenda , quo in exemplari
fequenti videre eft, His lineis tam confpi-
cuis, quam delebilibus fic dudtis, in majo¬
re margine cujufque lamellae interibatur,
feu infculpatur nota aliqua decem figura¬
rum i Ita ut ex centum crafsioribus , de¬
cem, &r ex gracilioribus ali$ decem lanul-
las, fint infcriptasnotacyphrae o indelebili.
Item ex crafsioribus decem, & ex graci¬
lioribus totidem inferibantur nota unita¬
tis, i, indelebili. Sic ex crafsioribus de¬
cem, & ex gracilioribus etiam totidem in¬
feribantur nota binarii, a, indelebili.
Similiter in decem crafsioribus & aliis de¬
cem gracilioribus inferibatur in maiore
margine nota ternarii u
sic &
94 Appendix,
Sic & quaternarii^ quinarii,
& reliquorum vfque ad nove*
narium inclufive, & ufquead
omnium ducentorum margi¬
num maiorum abfolucam in-
feriptionem,
Ha&enus tam cra fsioribus
feu dire&is qua gracilioribus
(eu tranfverfis communia: fe-
quuntur eorum diferimina, &
primo de inferipeione multi¬
plorum in crafsioribus, In lo¬
cis igitur omnibus centum
crafsiorum refpondentibus li¬
ter* inficribatur indelebili
atramento ipfa fimplex figura
quam nuper in maiore mar¬
gine inferuimus. In locis ve¬
ro refpondentibus literis b fi-
ni(lrorurn tri quecrorum, infe-
r.nur finiftra figura dupli eiuf-
dem fuperioris not*: & in lo¬
cis refpondentibus literis b
dextris inferatur dextra figura
eiutfdem dupli. Tertio locis
refpoudentibus li¬
teris c liniflriSjpo-
nantur finilir* §*
gur*
C A p V T PRl MVM, 9 ?
garx tripli: & locis c dextris» inferantur
dextra; figurse eiufdem tripli. Et ita dein¬
ceps inferantur reliqua multipla indelebi¬
lia ufque-ad noncuplum inclufive, Et u
aliquod duplumjtriplum.qiwpruplu.mj&.c:*
caruerit fimftra figura, aut dextra aliqua fi¬
gura fit cyphra, relinquendus eft eius locus
vacuus, aut fi mavis cyphra fupplendus*
Exemplvm.
Infcribenda offeratur lamella quaterna¬
rii fuis multiplis. Simplicem quaternarium
(eu 4,infcribe permanen ter locis a. Eius
duplum,fcilicet 8,infcribe locis Matris;
loca autem b finiftra vacua relinquantur,
quia hoc duplum caret finiftra figura. Ter¬
tio triplum quaternarii 5 quod eft 12 5 fic
inferatur: pone unitatem locis finiftris c y Sc
2 locis> dextris. Quarto eiufdem fim-
plicisquiidruplum, quod eft 16, inferatur
ponendo 1 locis d finiftris, & 6 locis d
dextris. Qwintuplum eiufdem , quod eft
2,0 , infcribitur ponendo 2 pro locis <? fi-
niftris } & nihil pro locis e dextris. Sextu-
plum, quod eft 24, inferitur ponendo t jit
jocis f finiftris , & 4 in locis f dextris.
Septuplum eiufdem, quod eft 28, inferitur
inlcribendo locis g iiniflris z, locis g
dextris B* Octuplum eiufdem quaterna-
_ Mi.
Appendix.
rii,quod eft 31, infcribicur ponendo 3 in
locis h finiftris, & z in locis h dexrris.
Tandem quaternarii noncuplum, quod eft
3^ , mferitur infcribendo 3 in locis i fini-
6 in locis t dextris. Et omnes hg
figurae infcriptat fint ad permanentiam.
Atque ita abfolutaeft infcriptio multiplo¬
rum quaternarii in lamella quaternarii,
cujus fcheraa hic depidtum habes. Sic cum
multiplis reliquorum quaternariorum ,
& omnium figurarum cestum crafsiorum
feu directarum lamellarum progredien¬
dum eft. Quibus denique peradtis, om¬
nes omnium lamellarum lineas aut literae
obfcurae & delebiles, delendae funt, & fo-
Ise figurat {impiorum, & fuorum multiplo¬
rum cum diagonali media, cuiufque maio¬
ris quadrati indelette permaneant, veluti
in quaternarii lamella, & catteris lamellis
penultimi exempli huius Appendicis per-
fpicere licebit.
Haclcnm infcriptio multiplorum in cen»
tum craffioribus lamellis j fcquitut centum
graciliorum defcriptio .
/"IRaciliores feu tranfVerfat pro feneftellis
' v -® & foraminibus inferviuntquae crafsio-
him multipla utilia ab inutilibus dirimant
& diftinguant: quas idcirco excifat aut per'
foratAs etiam vocamus: quarum excifio ta¬
lis eft, ut fequicur. Primo in omnibus la¬
mellis in dextro feu majore margine cy-
phrainfcriptis nulla fiat excifio. In lamellis
in maiore margine unitate infcriptis, exci¬
dantur
Capyt P1 IMVM, 9 J
dantur loca refpondentia literis a. In la«
mellis binario infcriptis, perforentur loca
refpondentia tam b finifiris, quam b dex¬
tris, ln lamellis infcriptis ternario 3 perfo-
rcntur omnia loca refpondentia utrinq; li¬
teris r. In lamellis infcriptis quaternario,
perforentur loca omnia refpondentia lite¬
ris d. In infcriptis quinario s perforentur
loca omnia literarum <?. In infcriptis fe¬
nario, loca omnia/ excidantur. In infcri¬
ptis feptcnario, excidantur loca omnia re¬
fpondentia literis In odtonario infcrip-
tis 5 perforentur loca omnia literis b utrinq.;
refpondentia- Tandem in novenario in-
fculptis lamellis, loca omnia literis i tam
finiftrorfum quam dextrorfum infcripta ex¬
cidantur. Et jam habes omnes centum
lamellas graciliores debite perforatas: pro
quarum omnium exemplo accipe praece¬
dens fchema lamellae feptenarii debite ex-
cifae. His peractis delend^ funt omnes
liter* & line* obfcur^ & delebiles,in arcis
tranfverfarum inventae;& folae diagonales
bipartientes quadrata majora, cum netis
figurarum infcriptis dextro margini reti¬
neantur,veluti in novifsimo hujus Appen¬
dicis fchemate perfpicue apparet.
Atque ita perfera ell omnium ducenta¬
rum lamellarum fabrica $ fequitur Pyxidis
ftruftura,
E' Ca-
*>'8
Appendix.
Capvt II,
Do Pyxidi *, fro continendis
lamella SiruBura*
Pyxidis flrudluram requiruntur qua-
tuor columnq, duse tabula, & du^ re¬
gula?. Columnq 'iunt quadrata?, aequalis
undique latitudinis, fcilicet duarum terti i-
rum digitijlongitudinis vero juxta quit q le
digitos* Tabuiq fint quadrate, latitudine
undique undecim dignotum cum triente:
harum altera pro bafi, altera pro fupretnb
folio iiatuatur: utraque perforeturquacuor
foraminibus quadratis , quorum fi figulo¬
rum latitudo fit tertia pars digiti: & tan¬
tum etiam diftet quodque foramen ab ex¬
tremis finibus tabularum. Perque ha?c fo¬
ramina ita imponantur quatuor columna,
ut utrique tabutead refios angulos dircdie
infifiant, Vnde &■ proxima difiantia fora¬
minum ab invicem, atque etiam columna¬
rum per ea tranfeuntium 3 ram fupra folium
quam infra, eil dece n digitorum: ut de¬
cem lamellarum latitudines tam lubtus
quam fupra pr^cife capiar; Tabularum au¬
tem interfiitium,feu columnarum longitu¬
do inter tabulas , te qualis eltcrafsirieide-
cem diredtarum, & totidem tranfverfarum
lamellarum : Ita ut ha? vigmti lamella? ac¬
cumulatae exadte comprehendantur inter
t.lbu-
C A P V T S I C V N D V $9
tabulas. Dux tandem regulae fiot longitu¬
dine ^quales latitudini- tabiilamm^arumq*
crafsities lit tertia pars digiti, tanta fcilicet
quantum ett fpatram inter foramina 8c
proximas extremit-aces-tabulf; ut itafupra
marginas tabulae, ;& ad emefriicatSsr-co¬
lum riartim inllar parietum agglutinari pof-
finc, altera videlicet fuper finhtrum margi¬
nem, & altera ftiper anteriorem marginem
ta-bulx. Sitque lingularum latitudo feti
altitudo atquaSis Crafsi-tiei duarum lirmella-
rum , altera crafsiorc , 'altera graciliore.
Denique quicquid columnarum bis regu¬
lis altius fu pereminet abfci nd a tu r*
Cacrerum Pyxidis partibus hoc fim
conglutinatis ,dividenda? funt longitudines
exteriorum o&ofacierum quatuor colum¬
narum inter tabulas interjeftfc, in decem
aequales partes : quarum mrfus qualibet
dividedaellin duas inaequales parccs 5 ahe-
ram inferiorem , majufculam,&r aequalem
crafsitieikrhell^ crafsioris: alteram bife¬
riorem. er.inufcularn, & aequalem crafsitiei
lamellae gracilioris. Deinde in infima di-
vifione majufcula anteriorum &pofterio.
rum ficierum inferantur figurae novena¬
rii. Etftipra hanc afeendendo ad feduen-
tem maiufculam diviiionem quatuor co¬
lumnarum (omifsis.minafculis) inferantur
figurae o&onarii,. Et in tertiis niajiifculis
divifionibiis earundem facierum infetiba-
tur feptenariiis. Et ita afcendetjdo per
ijajufculas divifiones anteriorum & poffe-
doram facierum ufque ad cyphrara <nclu-
E a fi vt
1©® A p P £ N D-I X.
five inferantur: reliquae figurae fenarii, qui¬
narii # quaternarii, &c. Quibus infertis
incipe rurfus ab infima divifione minufcu*-
la facterjum dextrarum & fi niftrarum (omif-
lis hic omnibus majufculis)in qua inicriba-
tur novenarius. Et fupra hanc afcenden-
do fcribe in fequente earundem facieruni
divifione minufcula figuram o&onarii. Et
fupra hanc in tertia minufcula earundem
facieruni feptenarium : & proinde fena¬
rium, quinarium, & ceteras figuras afcen-
dendo ufque ad cyphram inclufiye. Et ita
abfoluta eft pyxidisftru&ura, &columna¬
rum ejus infcriptio i fecundum quam hoc
modo inferendae funt Iamelle pyxidi.
Pyxide igitur ita ftatuta, ut altera regula
fit verfus liniftram, altera verfus pedlus
tuum, decem dire&ae lam#li<e figura nove¬
narii infer i pt$ fuperfternanturbafi inter fi¬
guras anteriores novenarii p & p ; ita ut
facies inferipta coelum, non inferipta hu¬
mum ; major margo pofieriorem pyxidis
faciem,minoranterioremfpedlet: lamellae
enimdire£foe fic infertae dicuntur debite in¬
ferni. Deinde accipe decem ex traofverfis
feu gracilioribus lamellis figura novenarii
Infcriptis, & has illis ex tranfverfo inter
figuras dextras p & 9 fuperfternito ; ita
ut major margo dextram, minor finiftram,
facies inferipta coelum, non inferipta hu¬
mum fpe&ent : & lamellae tranfvcrfae fic
infert» dicuntur debite inferni , Secundo
accipe decem lamellas dire&as odonario
infcriptis -, &has praemifsis ititer figuras
anterio-
p-
t-
r-
r«
io
n-
n-
f-
?-
iu
e-
&
|r.
il¬
ii»
r-
r-
r-
c-
in
o%
e~
m
IM
tC
8l
V®
- ■
'
’
.
fi
si
in
la
fu
u
d<
d\
fu
fa
A
d<
at
ti
m
fi
tu
m
g l
fa
iri
fa
CE
t
in
6-1
MI
fa
m
iu
a<
iu
*
*
Capvt sbcyndvm* IOI
anteriores 8 & 8 dcbitfc inftemiro. Pro¬
inde fuper has, decem ex tranfverfis in-
feripeis odtonario debite (id eft tranfver-
fim ) inter figuras dextras 8 & 8 fier-
nito. Tertio decem ex dire&is leptenario
inferiptx, debitfc fuper has tranfverfas in¬
ter anteriores figuras 7 8 c 7 infternan-
tur. Et fuper hasrurfus decem ex tranf¬
verfis feptenario infcriptac inter figuras de»
xtrarura columnarum 7 & 7 debite in*
llernantur* Quarto decem ex directis fe¬
nario infeript* debite fuper has inter 6 Sc
6 anteriorum columnarum initernantur.
Et his rurfus decem tranfvcrfa? fenario in-
feripta? inter 6 8 c 6 dextrarum colum»
narum debite infternantur. Et ita infter-
nendo directas lamellas quinarii, quater¬
narii, ternarii, &c. anterius; & tranfVer-
fas quinarii, quaternarii, ternarii, &c. de-
xtrorfum, debite 8 f inter fuas figuras in
columnis notatas, alternatis vicibus pro»
gredere ufque ad cyphras o, Sc pyxidis re¬
pletionem. Et pyxidem fic repletam
frtmftuarium dicimusjcujus fabricam jam
abfolutam habes 5 cum ejufdemfchemate
hic annexo.
j
Juxta hunc locum inferitur febe .
tna promptuarii notatum /#-
teri, A.
(
10 2. Appendix.
C A P V T III.
De'facili per promptuarium
Multiplicatione.
P lfe&puam ufim poti/fimum m
tiphcationt [pellatur, h multipli¬
catione autem requiritur debita dtffofitio
multiplicandi & multiplicantis 3 in fu prono
'Pyxidis (oao,<c^Uultiphcandi quidem difpo-
(itio fit ad hunc modum'. Pro pr ima feude -
xtvma figura multiplicandi pone ih primo &
dextimo [olit loca lamellam directam figu¬
ra prima multiplicandi in[criptam, e pyxide
direftl fub loco hoc dextimo folii defumptam*
Pro fecunda figura multiplicandi , pone fe¬
cundo folii loco, lamellam dirdtam fecunda
multiplicandi figura infcriptam e pyxide [uh
hoc fecundo filii loco depromptam * Sic pro
tertia,nuartasquinta^ extern multiplican¬
di figuris disfone tertio, quarto, quinto, &
reliquis locis lamellas direttas, tertia, quar¬
ta, quinta, & extern multiplicandi figurh,
infcriptaifi pyxide fub itfdcm locis rcjptdi-
ve depromptas ufiquc ad ultimam multipli¬
candi figuram : repletis locis omnibus fimu
firi-s (fi qua vacua fim) lamellis cypkrd in -
ferip tis
J
CAPVT TlRTlVM, IO|
fcriptis ad arBiorem totius folii repla io»
nem. Et ita habes multiplicandum tru fo -
lio difpofhum.
SupercB multiplicantem folio mfereye ,
quod fic jit ; Ero prima feti dextima figura ,
multiplicantis , fuperpone direBis ex tvanf-
verfo in primo & anteriore f ilii loco, lamel-
latu tranfverfdm prima multiplicantis fga*
raihfcriptam e pyxide dire B e fubloco hoc
folii anteriore dejkmptam , Ero fecunda
multiplicantis figura, tranfuerfim fuperpone
lamellis direBis in fecundo loco , lamellam
tranfverjam fecunda multiplicantis figpim
tnfcript'4m i e pyxide fub hoc fecundo loco de¬
promptam. Sic pro tertia, quarta, quinta j
& reliquis multiplicantis figm js : direBis ex
trdnf uerfo fuperfierne tn tertio } quarto
to 3 &reliquis locis , lamellas tranfiverfas ter-
tia quarta. quinta. & eat eris multiplicandi
figmis infiriptas e pyxide, fub iifdem jolti
locis rejpcBite depromptas , ufquead ulti¬
mam multiplicantis ftgmarrnrepleVs & hic
locis , tot lamellis cypbra o inferiptis ? quot
fiibfini loca vacua,
<*sdtque na iam habes tam multiplican¬
tem quam multiplicandum in folio rite di -
Jpofitos : er fimul cum illis iru area differ-
fas fguras produBi ex multiplicatione eo-
E . • . •' ' . ";
4 wti*
t©4 Appendix,
fundem t quibus tandem in unam futnmam
fer additionem aggregatis 3 provenit inde
verum multiplum quoji tum*
Exemplum.
Clt mulciplicandus numerus t%
per 3*86290741* Pro prima feu dexti¬
ma figura multiplicandi 2, pone in primo
dextimo folii loco lamellam' diredtam
binarii, e pyxide diredle fub hoc loco folii
dextimo delumptam. Pro fecunda figura
multiplicandi 1 fcilicec, pone fecundo
folii loco lamellam dire&am unitatis e py¬
xide fub boc fecundo loco depromptam.
Tertius folii locus repleatur lamella dire-
£la quaternarii, e pyxide dire&e fub hoc
tertio loco defumpta, Quartus folii lo¬
cus fenario, dire&e fub hoc quarto loco 6
pyxide defumpto repleatur. Quintus lo¬
cus ternario diredte fub quinto loco e py¬
xide extradto repleatur, Sextum folii lo¬
cum teneat cyphrae lamella diredte fub fe¬
sto loco defumpta. Septimum locum oc¬
cupet lamella diredla quinarii, diredte fub
feptimo loco deprompta. Odtavum lo¬
cum novenarius lubodiavo locoedudtusj
& nonum locum feptenarius fub nono lo¬
co defnmptus pofsideant. Denique deci¬
mo folii loco ponatur lamella diredta odte-
narii e pyxide fub hoc decimo loco extra-
#aj fervata diligenter in omnibus hac lege,
ut lamellas tam has diredt^,quam fequentes
«ranfverfg eodem ficu in iolio-debite collo-
✓ centur.
/i*' "* V '
Cas?? TEfcTIlril. IOf
seritur, quo e pvxide deprompte funt» Et
ita habes lamellas dire&as multiplicandi
dcbitfc in folio cur.i omnibus fuis multiplis
tam utilibus quaminutilibus pro opere di»
foofitas, quas in hoc adjuncto fchemate
folii & anterioris faciei pyxidis, perfpicere
licebit* in q uo, tot & in ultimo huius ap¬
pendicis fchemate, loca vacua py xidis, &
quibus lamella? tam diredb? quam tra n£*
verfae defunapta? funt& in folio re poli tar 3
vefogiis nigris inferius notarimus.
Iuxta hmc locum inferatur fche*
ma multiplicandi notatum IL
tera\ B v
tljls pera&is, rurfns incipiendum eft I
multiplicantej & pro prima feu dexti»
ma ejus figura fuperpone direttis ex cranii
verfo, in primo & anteriore folii loco, la¬
mellam tranfverfam unitatis, e pyxide di-
re&e fub hoc anteriore & primo folii loco
defumptam. Pro fecunda multiplicanti*
figura cx tranfverfo fuperpone lamellis di-
redlis in fecundo folii loco ( ab anteriore
femper in pofteriorem faciem progredien¬
do) lamellam tranfverfam quaternarii 'e
pyxide fub hoc fecundo loco depromptam^
Tertius locus repleatur feptenarii lamella
tranfverfa, b pyxide fub hoc tertio loco de r
fumpta. Quartum locum occupet lamella
cyphra? diremit fub quarto loco deprdpta.
Quintfi locum lamella trafverfa novenarii
fub qniiaco Joco edu&a occuper**
E § Semm
SOtj A : p p E N IX.
Sextum locum lamella binarii ttanfverfa
iubtus eduda teneat* Septimum locum
fenarius tranfverfus fub reprimo loco edu-
dus occupet. O&avura locum oftona-
ri us fub tus edu&us occupet. Nono loco
ponatur quinarius fub nono loco deprom¬
ptus. Decimus tandem locus repleatur
lamella ternarii trarilVerfa direfte fub de¬
cimo loco deprompti,&dire 61 is ex tranf-
verfo fuperpofira, Et ita habes lamellas
tranfverfas multiplicantis fuper diredas
debitedifpofitas,& omnia inutiliadi reda¬
rum multipla tegentes; utilia autem per
fuas fendMIas perfpicue offendentes 3 uc
in ultimo fchemate videre poteris.
Bic Inferatur multiplicantis fche-
ma notatum liter a. Q*
i o!iol a io! Tif- n3sn.£ io omna ai.c uvt
ILlOrum tandem multiplorum utilium
apparentium figuram primam 9 bi¬
narii fcilicetique inter inferiorem &dcx-
trum angulum, ac primam a dextris diago¬
nalem interjacet, pro prim3 jifodu&t figii- '«
ra feribe. Inter primam 'diagonalem 'Ss
fecuudamreperies i $t 8, pro quibus feri- •
be 9, pro fectinda produdi figura. Inter
fecundam diagonalem 8 c tertiam repeiies i
4. 4. & 4. facientes funrmam is; pro qui¬
bus feribe a, pro tertiafigtira pfodudiii re-»
fervata unitate in animo* Inter tertiam
& quartam diagonalem re periuntur
%Cuto unitate in mente jefcrvaa, fa¬
cientes.
r
i
[
%
i
. t
T '
(
t
1
C A p V T TlHTiy M, ^ 10 j
cientes ii , quorum i fcribittir pro quar¬
ta figura produci, & 2 in animo refervan-
tur. In quinto loco feu intervallo (fdli-
ee t inter quartam & quintam diagonales)
fnnt 3.4 i.B. 3 , quas cum binario mente re-
fervato producunt 5,5,quorum 6 fcriburt-
turpro quinti loci figura, & 2, animo re™
fervantur. In fexto intervallo fuiit 2. 2.
a, z,9, i* 4, cum binario mente fervato, fa-
ciences 24, quorum 4 funt figura fex ti lo¬
ci , & binarius- animo refervatur. Septi¬
mo intervallo reperiuntur figuro,quo cum
procedente mentis binario efficiunt 23,hoe
eft 3 pro feptima produdi figura, & 2 in
animo. Odavo intervallo reperiuntur
eum his in animo 41 > fcilicec unitas feri-
benda odavo loco,- & quaternarius fe*
quentibus annumerandus, qui cum figuris
noni intervalli efficiunt 51 5 hoc ed i no¬
no loco, & y in mente. Quo f rurfus
cum decimi intervalli figuris efficiunt
hoc ef! 1 decimo produdi loco, & fena-»
riura mente refervandum* Qiii curti reli¬
quis undecimi intervalli figuris efficit jr 9
fcilicet £ reponenda undecimo loco , &
$ figuris duodecimi intervalli anriumeran-
- da. Quo quidem 35 efficiunt , 6 fcilicer
duodecimo loco , & 3 decimotertio in¬
tervallo annumeranda. Atque hacvulgl-
ri Arithmetices methodo fervat&
reperies figuram decimitertii loci efie 7,
decimiquarti f , decimiquinti 5% decimi-
fexti 1, decimifeptimi 4, decimiodavi f r
deciminoni i a & denique vigefimi loci 'm
I-o£ Ajfinml
produco 3, Atque ita to:a fumma ex mul¬
tiplicatione produdta,& a nobis quaefita,
cit . 31541?5765ii 1346 1291. Qui
quidem(memoria: gratiajin charta notata,
omnes tandem fupremi folii lamell$ tara
diredi& quam tranfverfi* funt iterum ad
fua priftina loca in pyxice vacua 4 & nigris
Vdligiis in fchemate a nobis fignata, ac di-
redte fub locis folii conftituta, revocanda:
&reftituend^utita femper promptuarium
promptura & paratum ad alias atque alias
multiplicationes perficiendas maneat. Si¬
militer in aliis exemplis progredere».
Gapvt rV.
1 De divifionc per promptuarium^
& Tabulas.
vifio nm abfehitur per prcmptua«
rihm noBrum nijl prius converfi in
multiplicationem : in hac convcrfme mu¬
tandus eftdtvifir in fuum extremum rela¬
tum,
Sxtrtmum relatum eB numerus ita fe
habens ad medium relatum i ut medium re»
latum ad primum numerum clrUtum,
\JWedinm relatum eB femftr unitas
cum cyphrti diftep tUi vtrfus dextram ap*
itu* -
Ca ¥» V T 109
Vndc in quibufdam authorum tabulis
medium relatum eft 1000 quatuor loeo«
nim, uc in fecundo libro prarcedente IU*„
DOLOGve. noftrae. In aliis autem autho-
sibus eft 100000 fex locorum » ut in ma¬
nuali pitifci finuura, tangentium, & fecan-
tium. In aliis authoribus eft 1000000«»
©<fto locorum^ ut in canone finuum, tan¬
gentium , & fecantium Lansbirgii» In
aliis authoribus aliud eft, femper tamen
unitate & cyphris notatum f quod vulgo
finum tptum vocant.
Exemplum.
Vrquibus medium relatum, feu fimi#
totus eft 1000, 8c Jif numerus oblatus^
erit 8000 ejus extremum relatum : qui#
looo ita fc habent ad iooo,ut 1000 ad 11 u
Unde medium relatum feufinm totus eft
femper medium proportionale inter quemlu
hst numerum & frnrn extremum relatum ;
*Atque etiam faUum ex numero aliqm
[uo extremo relato aquatur quadrato fi¬
ma totiut , feu (ut nos dicimus) quadrato*
relati rhedin
Vt 8000 du&a in nf, idem producunt,
quod medium relatum 2000 in fedu&unv
fcilicet ioooooo.
Hae extrema relata flent inTabulis ex
diametro fuit numeris dat it opponi, otitin lo«
eis adeo conjpicuis infer iit i % ut altero ittrent®
reliquum externle inveniatwi
Ilo Append-ix,
Vndein Pitifci cauone, dati & fiu ex¬
tremi relati, altero in finuutn columna pri¬
ma invento,alterum in fecantium columna
ultima illi e regione invenietur: Aut alte¬
ro, in fecunda quae tangentium eft colum¬
na invento , alterum in peQulcima pagina»
columna invenietur e regione, Aut deniq*
altero in tertia columna invento, alterum
illi e regione invenietur in antepenultima
columna.
Lansbergivs autem habet datorum &
filorum relatorum extremorum alterum
inter finus arcuum, alterum inter fecantes
complementorum eorundem*, vel alterum
inter tangentes arcuum, alterum inter tan¬
gentes fuorum complementorum. Et nos
quidem in fecundo Libro Rabdologia
hujus ponimus bina extrema relata (quo¬
rum alteru datur, alterum qufrirur) in ea¬
dem diagonali linea aequaliter a media mil¬
lenariorum linea diftantia. Veluti in pri¬
ma Tabella, 6?S, ' 2 c i po funt extrema re¬
lata: Item1991 funt etiam extre¬
ma relata: fimiliter 408, & vel 701,
& 1312 funt extrema relata. Ec ita de aliis
omnibus huius libri extremis relatis.
Si ergo , his intellectis , offeratur
tibi, numerus per numerum dividet
dus , convertes divifionem in multi -
flicationem hoc modo -.
zJMpiltiplicd dividendum oblatum per
Capvt rtv m; i i i
oris dati extremum relatum: produBo
fiuppone (fiaUionum more) quadratum we~
dii relati: aut illi d dextr is aufir tot figuras ,
quot fiunt in hoc cyphrp: & provemet inde
optatus quotiens divifionis imperata .
Exim p l v
m.
T ex Tabulis Lansbergu fitdividen-
v ‘dtis 8795:036412, per 27884. Per
praemiffam multiplicationis regulam mul¬
tiplicabis 879^03 6412 r p^r extremum
relatum numeri 27884 , quod elt
3586290741 : & inde producentur
3 154 1 5 5765. u'i 346129 2: & huic pro¬
ducto fuppone quadratum medii reiati,feis'
quadratum finus totius , quod Lansber-
gio eft 100,000,000,000,000, quinde»
cim locorum , & fient inde more fra&io-
num feu per di&in&io-
nem integrorum a
3 i? 4 ! 5
5765111 6 ti 9 i
1 ooaooooooooooo
fra&is fic
vel per fra&ionis
omifiionem fic 315415,pro quotiente di-
vifionis defiderato.-
ssflieid Exemplum,
Polita Tabula cujus,imus totus feu me¬
dium relatum fic' 10600000000 unde¬
cim locorum: & ex Hac Tabula fic dividen¬
dus 8795036412, per 27883963465.
Per promptuarium noftrum multiplica,
879503 6412, per numeri 278839634^
excrero
112 Apundix' ca*,iv.
extremum relatfi,quodeft 3586290741»
& inde ( ut fuperius ) producentur
31 5 4.15 5765 M1346129 2; 8r huic pro*
dudto fupponatur medii relati quadratum f
quod cit ioooooooooooooooooooo Vi-
ginti unius locorum 3 & proveniet inde bxc
f«»o 'SSSSp » quotientedivi-
(ionis veroquaffito . Et ita progredere in
omnibus divifionibus oblatis, atque eas
Tabularum ope in multiplicationes con¬
verte , & facillime inde dabit hoc promp*
«suarium optatum quotientem. Itaque
abfolutis jam fabrica & ufu
hujus promptuarii, ad
Arithmeticam lo»
calem proce¬
damus,.
Lavs D i ov
? 1
ARITHMETICAE
LOCALIS,
quae in Scacchias
abaco exercetur,
Liber u n U S.
t • . : ' ■
PR&FATIO*
V M itu his calculi com*
pendi u ( quoties per otium
licuerat, ) ttivefligandis
operam aliquando darem ,
Cr quibus modis labor &
mole sita calculi tolleretur 9
inquirerem { incidi (prjter Lo G ARITH¬
MOS,R ABDO LOGI AMjPROMPTVARIVM
%JMultiplicationu , c>* alia) in-» tabularem
quartdam Arithmeticam^ qua (quum om¬
nia graviora Arithmetica vulgaris opera in
abaco fm area Sc ac chia perficiat) merita
ludm s
U4
P 8 A ? A T I O.
lucius, non labor dicenda cH: per hanc enim
fit additio, fiihfiraihojtmdtiphcano. divifo,
imo & radicum extrac/io , foto calculorum
huc, illiti que motu. Unica tamen exigua
in operando per hanc occurrit mora • mmu
r itm quod hujus numeri a numeris vulgari-
hm ita differant , vt primo vulgarium in
hos 3 & ultimo horum tn vulgares opus fit
reduBione , utraque fidis fkciU, tn medio au¬
tem operationum pr.ocejfu , facilitate & Cer¬
titudine , vix ulli osdiithmetsca compendia
cedtt. Qfiam ideo nec fi polire flcnt/o s nec
per fe (quum hre vis fit j (olam a der e : fid
huic Rdbdologig no sire 3 poTl pr a fatum
promptuarium, in fUidicfirum gratiam fub-
\ungere % & eruditorum cenfur* [abjicere
Capvt primvm,
Dedefcriptione Pertica? pro
lineali locatione.
Ocalis Asithme-
est qu£ fer caL
debiti locatos ex -
enetur .
Locatio eft linealis^
aut areati's.
Linealis eft, qu& per calculos in li.
nea, pertica, aut margine abaci Jcac.
chi& ex t enfos fit.
Sit Pertica a divifa ^qualiter in tot
partes, quot numeros & calculos eam ca¬
pere defideras: verbi gratia in 16 partes fi
1 6 calculos, aut a 6 numeros eam capere
velis ; -eritque decimusfexius numerus
3 Z 7<^»
Iit) AftlTHMlTl C.SL EOCALIS.
$1768, & computabit haec pertica omnes
mimeros infra 65536 fatis commode ad
Tfar vulgares ufus.Velfi mavis
in 14 partes, pro 24 calcu¬
lis & numeris capiendis,
quoru vigefimus quartus
erit 8388Co8,& computa¬
bit h$c omnes numeros
infra 16777116. Vel tand&
fi cum maiorib 9 numeris,
videlicet finuum, tangen-
tium,&fecantium operari
defideras : fiat pertica 48
digitoru, in totide partes
dmfa s ad 48 calculos & 48
numeros capiendos, deli¬
nente ultimo in numerum
1407374883^318: & haec
pertica computabit om¬
nes numeros infra
%Zi474976110656 procede¬
tis duplu fcilicet. Nos pro
exeplo perticam in 16 tan-
tu partes divifam hic deli-
neavimusjeuius pertic§ fic
divifae fit prima pars a, &
eius numerus unitas*Secu-
da pars b,& eius numerus
binarius. Tertia c, & ejus
numerus 4. Quarta d, 8c
eius numerus X'Quinta e,
&rcins numerus 16. Sexta f,
& eius numerus 31. Etfic
omnes perticae partes na¬
turali ordine numerorum
4 -
u»
0\
OO
F*
16384
. jp
o.
8191
n.
4056
m.
OO
O
i.
1024
fc. 511
i.
2 56
h.
128
g-
64
f.
3 »
e.
16
d.
8
c.
4
b.
&
a.
1
Capvt secvndvm. i 17
progredietes literis alphabeti ordine figna~
niuij&valores iis imponimus cotinua pro»
greflione dupla procedetes: ut ex adiun dio
cius fcheraate co,nftat,in quo partes a*b. c,
d.e. f. &c. loca dicuntur.
Capvt II.
DeTranflatione vulgarium nu»
merorum in locales.
I N feripta fic pertica,fit peream primo
tr an fiat io numerorum vulgarium ad lo~
cales,&ultimb reduffiio locahu ad vulgares,
Tranfi.ttio 'vulgarium numerorum ad /0»
cales, feu liter ales, fit dupliciter: fcilicet per
fnbjhattionem, & bipartitionem.
Ter fubfiraBtonem fit, auferendo mmc~
rum tabulatum proximi minorem a numero
oblito : & ab huius refiduo numerum etiam
ei proxime minorem* & fic deinceps , in
tifis numeri oblati cdnfumpttonem . Numeros
autem tabulatos fubfiraff os fuprapofitis m
pertica calculis notado } aut( fi mayis)eorum
Uteros in charta memoria fkrvamlo gratm
fcribendoi hi enim caiculMn pettief^m Ide*
ra w charta oblatum numerum nfirmt /*-
c diter*
i'i£- Arithmetica Localis.
\ : T fit numerus anni Domini i6 1 1.
* notis noflris localibus exprimendus.
Numerum tabulatum 1024 proxime mi¬
norem ab eo aufer , & remanent 587?
Hinc aufer numerum tabulatum hoc prox¬
ime minorem, fcilicec 512 , reflant 75V
Hinc aufer numerum tabulatum proxime
minorem 64, reflant j j. Hinc aufer 8,
reflant 3. Hinc aufer z, reflat 1, Aufer
1, reflat nih-il. Vnde po/itis calculis fupra
numeros pertic^ 1024, 512^ 64,8,23 1:
vel notatis in charta tuis literis localibus
I, K, g, d, b f a, tranatus eft numerus 1611
in notas locales.
•diter modia transferendi per bipartiti#»
nem fic esi t r Pro numero impari oblato
pone calculum loco a, & unitate rejrffa, bi¬
partire oblitum : aliocjuin.fi oblatus fit par,
nuflm ponatur calculus loco a* Utcunque
fit * httjm dimidium fit impar , rejice unita-
tem i & loco b pone calculum : alio quin fi
par s nullum . Tertib hoc dimidium bipar¬
tire , fjr fi jam dimidii dimidium impar fit^
pmttate re \elki pone calculum loco c : alio-
quin nullum. QuarCo adhuc bipartire, &
pro impari pone calculum loco d : alioquin
nullum. Et ita iri'cateris- 'ommbtics Vocis ,
Jmper bipartiendo, &"pro impari reficiendi
unitatem 3 & ponsmlo calculum in illo loco,
pro
. G A P V T s JBi' C V N *>' v M, 1 f *>-•
yyojhiri vo.ro nullum : ^.omcnumertti obit -
tiu ad unitatem meoijjmMmfervemfti ,
fmvltimo Uco-fohaiUr calcului : C/"
calculi in pertica , vel fua Utera in charta*
notabunt localiter numerum oblatum*
Vc fit praefatus numerus i< 5 ii repra?-
fentandus per calculos & lireras locales.
Hinc ( quia impar di ) rejice unitatem . &
loco a pone calculum* Inde bipartire
i 6-io, fient. 80^ impar, reje&a ergo uni¬
tate pone calculum loco b. Inde bipartire
8o4 s fit 40Z par*, igitur loco c non poni¬
tur calculus* * Deinde bipartire 402, , fic
201 inipar: rejc&a ergo unitate, & pofi-
to calculo loco d, bipartire 200,fient 3 00
par : Vnde loco e non ponitur calculus.
Biparrire ico fient 50 P ar : £1 S° ^° co ^
non ponitur calculus. Bipartire 50,..fient
impar: ergo locus g fignetur calculor
8b rejeda unitate bipartire' 24.;, fient 12
par i ergo fit locus h vacuus. Bipartire
12, fiunt 6 par ; ergo fit locus i vacuus.
Bipartire 6 , proveniunt 3 impar; ergo
fi gnato loco k calculo, &r rej da unitate
bipartire 2, & proveniet tandem unitas,
prd qua fignetur locus 1 calcu!o,Et ita per
calculos juxta i, 2, 81 64, $121 1024111
pertica.pofitos, vel fuos locales literas a,b f
d, g, k,) s b<panm©jue continuata habes nu¬
merum 10 a exprdfum.
GaPvt
no Ariihmetk.* Loc At is.
Capvt III.
De redudione localium nume¬
rorum ad vulgares.
R EduBio notarum localium & litera-
litimad fuosnumeros fit bifariam: per
additionem fcilicet ) <& duplationem.
"Per additionem, addendo omnes numeros
locorum, quos calculi aut Utera fanant,in
unum aggregatum ; & hac f limma cB nu¬
merus Agnatus qui qnaritur,
Vc fine nota? locales a, b, d, g, k, 1 ,
quarum numerus^ totalis iam quaeritur»
Numeri locorum funt a i,b *,d 8, g 6 4,
k yisjl 10x4: quibus additis, fit fumma
totalis numerus fcilicet quarfitus,
quem notabant calculi lpcorurn a, b..dj
gj k j 1,
Ter duplationem autem revocantur nou
ad f nos numeros , hoc modo : Pro ultimi &
maximi numeri loco unitatem duplica, duplo
adde unitatem ft calculum repereris pemh
fimo loco 1 1 in contra , non addat. Hunc
(fiveauftum, ftvemn melum unitate) du*
pliU)
C A P v T TERTIVM. 1 1 1.
plica, e tufque duplo adde unitatem , fi. locus
__ antepenultimus fignetur calculat alio quin ,>/?'*•
hd addat. Huic adhuc duplicato adde 1 1
fi locus prae e dem antepenultimum calcula
fignetur: alioquin non. Sic & huic iterum
atque iterum duplicato unitatem toties adji-
ccy quoties obiter offendens calculos , donec ad
primum locum a peryeneris. Numerus
autem qui ex continua duplicatione^ & uni~
tatis additione in a. tandem inciderit* esi
numerus quafitm , quem locorum & liter a-
rum calculi ionotum celayerunt «
CX • -y*
'
■ * a . .« . ( i ' * *: % yf%
Sequitur Pertic/e forma cum
exemplorum fynopfidp
P e :R -
F
122 Arithmetica Localis*
VERTICE
&rc.
4*
32768
J
<
* ■-
P*
16384
" ' v : ' i
\
■
o.
8192
r
V ‘\ ; j V •’
C V 1 !
n.
4096
'
m
2048
1,
1024
i£ii(/)
1 w
( 7 ) 1024
0 I
k. s 1*4
58? (0
3 M
(y n»
(0 3
i.
256
6
6
h.
128
12
12
g-
64
75 C?)
(r)
C i ) ^
(?) *j
f.
.
32
e.
j6
100
100
d.
8
n (<0
201 (</)
» 8
(< 7 ) 201I
c.
4
402
402
b.
2
3 W
80? (J)
w *
80J
a.
I
1 (*)
CyemPlv.m
^primum*
I6il(<«)
,W 1
161*
Tertium*
CaPVT TERTI’/' M* 123
V T adhuc per hunc modum , fuperio-
rum notarum localium l 5 k, g,d,b, a,
quxratur numerus per eas lignatus* Pro I
duplica unitate,m s fient a ; quibus adde pro
calculo k unitatem, fient 3. Quibus rnr*
fus duplicatis fient 6 , quibus nihil adde t ,
quialocus i vacuus eff. Horum etiam du¬
plo 12- nihil adde, quia locus h vacuus eli.
Horum autem duplo, 24, unum adde»
quia loco g offenditur calculus* Duplica
ergo z<> , & fiunt pro loco f vacuo jo»
Qua; duplica rurfum , & funt pro loco e
vacuo 100. Qua» adhuc duplica, & fiunt
201 addita unitate propter calculum in d.
Duplica ergo 201 3 fiunt 402 pro loco va¬
cuo c, Quorum duplum-804 augendum
eff unitate propter calculum b, Duplica
tandem 805 fiet numerus 1610 augendus
unitate propter calculum in a repertum.
Hic ergo numerus 1611 in a incidens eff
numerus qusficus, quem celaveruntcai-
culij & literse a,b,d, g 5 k,,l: ut ex Pertica»
& exemplorum fynopfi fuperius defcriptis
perfpiccre potes.
F 2 Ca-
124 Ari^hmetic/e Localis*
Capvt IV.
De abbreviatione &
extenfione.
N Outimcm & reduBionem
computatiosjua tota in fitu 3 abbrevia.-
tione , & extenfione ver fatur.
Situs eB 3 ut localium numerorum partes
jam ex pramijfis inventa , calculis debite fi -
'gnentnr.
9s4bbteviatio eB y ut pro duobus calculis
citerior e loco repertis ponatur unicus calcu -
lus loco proxime ulteriore.
Extcnfio contra eB , ut pro unico calculo
ulteriore loco reperto t ponantur duo loco pro¬
xime citeriore.
Vndc nec abbreviatio , nec extenfo nu¬
meri valerem mutat’*
Exempli gratia : Sit abbreviandas nu¬
merus a bb de ff g: pro duobus bb 3 po-
neunum c;&pro duobus ff, ponendum
•erit unicum g: fed quia alterum g occur¬
rit ideo pro duobus gg ponendum eft
unicum h # Et eritrotus numerus abbre-
viatus aedeh priftfamn recinere valo-
rem.
‘Itera
CaPVT ^VINTVM, - I2f'
Item fit extendendus numerus a c d e
h; qui fic per fntervalla fua in pertica di-
fiinguitur a. c d e.. h , hic ita extenda¬
tur, ut non fit in eo locus vacuus, quod fic
fit: Ablato h, pone pro eo gg, vel g f £ s
vel g f ee s vel g f e d d, vel g f e d cc,
vel g f e d c b b, vei tandem g f e d c
b aa, ultimum fernperduplicando j nam
hsc omnia eadem funt , & idem valens
quod h, Eorum ergoquodvis additu-m(per
cap. (equens)ad aede e it idem quod a c
d e h. Vnde a ab cc d d ee Fg eft
ejufdem valoris, cujus a c d e h exceiu
lus.
capvt y*
De additione, & fubftra(5Hoiie ?
cmn tranflationis ac redudso-
nis compendio.
A D ditio mUiaitud est, quam abire-
J- A aratorum conjeriutto charta, aut
ionfignatio per calculos in pertica* & con~
firiptorum vd fami figmtonqn abbrevia-
ito'
Vtfint addendi a c d e h, ad b c f g h
fiunt primo a b c c d e f g h h per con-
ficriptionemjinde perabhreviation-em fiunt
a b h i. Et ita de aliis.
F 3 Suh~
li6 Arithm. Localis.
Subflyacho csl fubfivahendi abbreviat ia
minuendo extenfo fu blatio ; q rrefidui (fi
opus fit) ab breviatio*
Vc fiat b c f g h fubftrahcndi ex a b h i,
feu ( quod per extenfionem idem eft) cx a
b c c d e f g h h, & remanebunt a c d
e h fubftra&icnis reiiduuin qua?fitum.
Suppeditas nobis hac additio & Juhftra.
ttto jkale compendium reducendi numeros
'Vuhrares in nofiros locales } & locales in vnl~
o ' . _
gares officio fubfquentts tabula.
Tdbtila Re-
i
10
100
IOOO
I
a
bd
C f g
d f g hjk,
f 'J
Fv "
b
c e
d g h
cg h i kl
3 '
a b
bede
cd fi
defhikm
4
c
d f
e h i
fhiklm
v 5
a c
b e f
cefgiii
j d hi k n
^~6~
bc
edef
d egk
e f gikln
7
ab c
bcg
edef hk
degikmn
"T*
d
e s
f i k
g iklmn
9
r—
ad
[ bdeg
1 c h i k
d f i k o
C A P V T Q_v IN T V M, I 27
Vtfint 3783 reducenda ad noftros loca«
les numeros. Quaere primo in Tabula
'3000, in communi angulo inter 3 & rooo,
&• offendes d e fh i k m. Quiere item 700
inter 7 & 100, & offendes cdefhk.
Qu?re tertio 80 in communi angulo inter
$ & iOj& reperies e g. Qu^re tandem
3, &: reperies pro iis a b in communi an¬
gulo inter 3 & 1. Has quaruor fummas
( ex pr^mifsis) adde 5 & fient a b c g h k 1 m
pro numero 3783.
duBumu •
IOOO 0
IOOOOO |
reooooo
e i kl 0
1 fhklqr
^kprstv
f k 1 m p
[ gilmrs
e fi 1 no p
| fgh iknq t
^ 'i
g 1 rn u q
h k m n s t
egikpq
! f i 0 q r s c
t g k mo p q
j ghiklorv
e f g j n r
f g k 1 m 0 q s v
h m n 0 r
| iln 0 t v
e h i k. 1 m n p r
fhikm n oqr t v
31$. Aritpm-etica Localis»
Contra, fint reducenda a b c g h k I
m , fea ( qua? per extenfionem eadem
funt.) a b c d d e f g g h h j k k rn, ad
iiumerum vulgarem.
Aufer hinc maximum numerum loca-
Jem tabulatum qui aufeni pofTit, fcilicet d
e f h i k m ( pro 3000 ) & fuperfunt a
b e d gg h k. Ex quibus ( per Cap, 4.
hujus) extenfis ad a b c d e e f g h k,
auferatur tabulatus numerus localis quam
maximus c d e f h k , (qui 7oo nis re-
fpondet) & remanent a B e g. a qui¬
bus aufer tabulatum cg, ( qui 80 re-
fpondet) & fuperfuu$ a. b, quibus tria in
Tabula refpoudent»
Numeri itaque profati inventi, funt
3000,700,80,3 , feu conjundi 3783,
qui eii numerus petitus refpondens licera-
libus calculis a b c g h k 1 m.
, w
Admonitio*
P Otesl etiam per hanc Terticam multi -
plicat io & divi fio perfici: fed quia hac.
#pcr*t lucidius multo & fihcilius expediuntur
per urealem locationem , qua fit in alveo
.fcdcchia utramque locationem completi:ente,
qudm qua per Perticam fiolam fit i ad area •
lem locationem , ejufique ufium in expediendis
muitiplicatiomhm y divifimrhmr& radicum
iXtraBiombus .fivmonem convertamus .
Capvt
■12
uir
Gap v t V L
-J
Dc defcriptione abaci, ve! alvei*
pro locatione areali.
A R E a l i S mmeroYpim locatio , ef?
eorundem defignam per calculos in
areolis cancellis alvei fcacchovum fm
latrunculorum, vel alterius fimtlis
dratx Tabula depofitos.
Clr Tabula hxc quadrata T ^ 31 23“,
^angulus tibi-prosimus T, angulus fini-
fter tf; angwlu# an¬
gulus dexter S\ Dividatur latus T in
quotvis partis , ut pote.in 18, 24, Vel in
plures,fecundum numeros &calcu!os quos
abacurti -capere defideras t nos iequenti
fchemate jllnd in 24 dividimus. Divi¬
dantur etiam latus T S“,& reliqua late¬
ra in totidem partes * & du&is lineis a 'la¬
tere T Xf ad latus n. 55“, & a latere T &
ad latus IE,per fingula divifionum pun¬
ita, habebis tabulam divifara arealiter in
576 areolas quadratas. Dextrum latus
ab T in S>, & a S? in 2E, fignabis literis
abecedarii, & numeris duplo progrefTu, ut
in pertica j & ubi abecedarium latinum
F 5 deficit*
j 36 ^ Arithm. Localis,'
deficit \ progredere cum alphabeto Cne¬
co. Similiter age in finiftro latere ab X
sn b", &a bf in i,- relido utrinque mar¬
gine amplo pro numeris capiendis, eod^em
prorfus modo, quo m Perticae fabrica prae¬
cepimus.
fignis T v s
1
I
I
f'
'G .
i—
o
!-
jf
r|.,
C'
i-
a
re
’(lr
er
er
id
to-
f#V
ii*» 3 '
4
r
£
f
d«
cc
.
sn
g>
r
ci-
*
Capvt VH. !
De motu areali calculo nim
P E?* lomuj abaci areo/ai quadratas bm
atque illuc mo vendi fmt calculi, ad nu¬
meros exprimendos & computandos»
t&fotw ftn progreffus aredlis duplex
§B y ^iveBus ) & diagonalis.
'DireBus esi , qui motu elephantis turri*
jf ri f :accbi(Cprocedit parallelas ad latera .
Vcab a in &, a b finiftro in «dex¬
trum: a c finiftro in /3 dextrum,a d fini¬
ero in y dextrum: & ita deinceps»
Vel aliter: a b dextro ad a, finiftrum, a c
dextro ad $ findlrurb, a d dextro
ftrum. ^ Vel contra, ab & in a,- ab « m b, a
fi inc,a y in d 3 &c. fi ve dextrorfum 5 five
fimftrorfum, five afeendendo, fi ve delcen»
dendo»
Vnde motus dire cius duplex cti J alter
parallelus adUrteam Y S£, vel H: alter
'huic motui orthogoniis , & parallelus ad
lineas Y fe, & 31 «o *
Atqyhi duo motus femper fefe ad invi¬
cem fecant in angulo’ aliqua communi diti*
gemet obfervamio»
K3 Z Arithm. Locaijs*
Vc dire&us motus a d dextro io y fi-
uiftruin, & motus a g finiirro in £ dex¬
trum, lefefecantin a > ; qui communis an¬
gulus ieu areola ititer d 'dextrum, & g fi-
nillrum dicitur* Et ita de reliquis.
diagmalts eH qui ab angulo
aliquo ad fuum chmnetr.diter oppofitum
angulum tendit \ aut huic motui parallelus
esi, inflar motm [gttiferi fcacchiei
, itYms
Vc ab a in 4„ ab in y ., a c in d in
«/, &c. literis utrifquc dextris, aut utrifque
fimftris; aut contra 44 in a, &x, Aut ali¬
ter , literis fimilibus 3 altera dextra, altera
iiniftra: iit k b dextro in b finiftruni, 4c
dextro in c iioiftmm •, a *d sdextrb in d fi-
niftrum; vel contra, & ile deinceps»
f . J - , ; •» jh
ZJnde etiam "pt'^.diagonalis motm du¬
plex ffifj alter \inttr "firj$let \ 9 alter imrdffh
ni >3 dfi J-Ain-yj teV .aunfl
Inter f miles dicitur frogrejfm y quit}h d
dextris juxta St, in (iniHras verfm b'-
aut contra k"din S 1 progredimur'.
Inter di ([imites aut em,dUum K a[cin$nm
ab T in ni 3 aut def cenamus a 3E m Y*
9 it in [apertoribus exemplis patet •
m.
€ A P VT VIII.
De Axiomatis & confedariis
utriufque motus in abaco.
A x i om a i„
D ivelle afcendendo motu feu traBn
elephantis j areola quaque fiiperior e fh
■vJore dupla proxime in ferior i,five dextrov*
fim^five fmislrorfum piocedas»
Vt.ab a>In bfive dextram fiveliniftrunij
i^CrenfientunTi inter areolas duplum eft :
nam areola a valet i. 5 b autem 2. ..Sicab
aicendendo!, iive dextrorfum 5 five finiftror-
fum> valebit proximaareola c quas funi
duorum duplum» Par ratio in exteris af-
cende-udo W eob cra defe&ndendo*
Axioma ,2’.
Omm Areola diagonali ter inter) cBa in¬
ter duas firhiles liter as, funt eiufdem valoris
tari intelleguntur i
Vtomaesareblx quadrata; diagonaliter
interjedf inter l & l, intelliguUtiir notari
bteraly^-valere;-^'^ • ,~;m bV‘ /
Ex duplici hoc motu, dirtBo elephantis»
dlUs,
I34 ; Arii3m, Lgcaiis*
dici ii , [eqmntur plurima Corollaria infra
(cripta ♦
Coroll. I,
H inc primo conflat» calculum moven¬
tem diagonaliter inter (miles lueras ,
nec liter ale nomen, aut notam t nec numera »
hm valorem mutare: atque ideo hunc mo¬
tum merito aqualem dici «
Corol, 2.
Secundo, ut diagonalis motus cdculi de-
xtrorfltm, vd finiffrorfum ( more(dgittipri
p ac chia ) valerem cius nonmutat, : fle a[-
cenjus diagonalis vdor em eius quadrupli¬
cat» : itn ut [aperior quaque areola fit qua¬
drupla proxime [ubfnutaeiareola angufd-
riter conjunBe*
Corol.
T er (do [equitur, quod diagonalis linea y
31- , [nt a 4 areoU.apendum per numeros
alternos, quadruplos, & quadratos , & per
lueras alt ernas: atque ha areola [mt punttis
[enanda pro extratUone quadrata.
Vc a * v f 4* e i6, g %i z^, &(E 4 , u%ue
ad 4* CorOf/4*
Quarte , quod diagonalis linta b % f
areola ■■■afcendunt per numeros alternos , gr
quadruplos 3 [ed non quadratos per H teras
sdtemm ■ - ■ « -
3d-.%r €'m'®k
Capvt OCTAVVM, 13^
Corel 5 .
Quinto j areoU a c in 4, <<£ e in t s
a g/n <drc f procedunt ut areola in linea
a 4 , incipiente tamen qualibet d numere
marginali illifubieblo ♦
Corol. &
SeXtb, quod areola d d /» i/* *£-f ah
hin & c at er a alternatim pofitg , proce¬
dunt ut areola in b % linea: incipi ente,tamen
qualibet k numero marginali iltifubirfdo,
Corol ♦ 7 .
Septimo fequitur, quod ex multiplicatio»
ne duorum numerorum , quorum alter efl in
margine y So, alter in margine y fcf, pro-
ducitur numerus communii areola , fm
guh dtreblo motu intercepti: quem liter a fi~
miles , dextrorfum & jtmilrorfum diag ovali
motu ab hoc communi angulo procedendo 9 -
monfirabtmt,
Vt ex multiplicatione d 8 , in g 6$, pro¬
ducuntur k jiz litera & numerus areola,
feu anguli communis inter d & g , quem
noti» fignavimus, Er ita in caeceris.
Oektvb fequitnr, quod cuique calculo m
4 rea pjfiio y tres conveniant numeri & fu<&
ires- liter a: duo dwcBo motu illi calcuU
'.fftbjiimii j;
diw
iy 6 Arithm. Localis.
ditet finifirorfitm repentur : tertius numc .
tus diagonali motu figittifiri fcacchiadex-
trorfum & (mjlrotfem 3 per [imiles numeros
& titeras marginales dejignantur .
Vt calculo depofitoin .area refpon-
dent motu elephantis turri feri fcacchi*
duonumeri &dua; Utera; d 8,&f g &
tertius numerus cum tertia Utera A ftz ex¬
peritur in utfoque margine dextro & fini-
llro 3 m6tufagittiferiprocedendo. ff
Corol. 9«
jS^nno feqmtur, quod horum trium nu*
merorum , is tertius, quem fagittijer fcnc-
thU mopBratJ fuo motu dextrorfum", & fi.
ntfhorfum-,in opere multiplicationis e fi mul¬
tiplum reliquorum duorum: quorum alter eji
multiplicans , alter multiplicandus. St in
opere divifionis jdem tertius eji dividendus:
& reliquorum cluor um,(quos elephantis mo¬
tus in inferioribus marginibus dcfignat>)ul-
ter efl divifor^ alter quotiens.
Vt in fuperiori proximo exemplo trium
numerorum d 8, g <<4, & -k tn mufc?~
plicatioae, k % iz c.it multiplum fe< 5 him ex
8 & (54-: & horum alter efl multiplicans,,
alter multiplicandus. In divifione autem,
idem fertius k fxz efl: dividendus : reli¬
quorum vero alter divifor, alter quotiens.
Admonitio.
His ergo confefktrtis varie tranffionun-
tur f
Capvt nonvm,
1X7
tur , extenduntur , .& abbreviantur calculi
in area depofit i ; retento prislina valor e *
fiunt ex iis varia fgura^utpote quadrangu¬
la fets oblonga i quadrata, & alia multipli'*
catiorubus 5 dpvifionibus % & cxiraUiombus
radicum aptijjime convenientes, ut jam tx
fequemibus patebit „
Capvt IX*
De multiplicatione.
<fj 7 ufidtiplicationc oportet numero,
multiplicantem & multiplicandum je-
paratim fhnptos minores ejje duplo mediis
(medium enim toco,numerum in angulis bj
aut ST locatum) 'quod duplum in hoc abaco
pracedente eff 16777216 ♦ c J^lultiphcandi
itaque & multiplicantis alterum , calculis
aut creta inmarojne inferiore, c-r dextro V
©■: alterum in inferiore , ^ fini siro T b",
fignabis: nontumeru intra abaci aream 3 fcd
fuper fuos numeros juxta Uteros. Deinde fin-
gu lorum duorum calculorum t aut fi priorum
marginalium ( quorum calculorum alter
dexter t alter fnificr efl) figna omnes com¬
munes angulos arcales calculis, diligenter
obfervando ne vel unum omiferist hi enim
calculi
533 Akithm. Localis,
calculi artaks figuram quadrangularem
cxalle rcfirentvs quafitum multiplum, fm
froduffium optatum dcfignant ? quoda£bre-\
tn at tone % tr anflat tone, 0 - rcdnUiont mamfc- ■
i?e patebit.
1
Vt fine multiplicanda 19 (quartranflata. j
fiunt a b e) in 1 3 rqu£ tranflatafiunr a c'
d. Calculis aut creta lignenrtrr a b e 3 vri
fui nomen 1, 2 5 16 , in infimo & finiftro
margine T dr a c d vero 5 vel fui numeri
1,4, 8 , in dextro T ST fi.gnentur,ut infra»
Demde omnes communes anguli inter li-
niUras notas a b e 5 vel i 5 2, dextras
a c d. 5 vel 1,4 $, fignemur calculis iu
arca d’epofit;s 5 & figuram quadrangularem
appoiitam referent. Abftra&i-s-fgitur calcu¬
lis marginalibus,, &. deletio notis multipli-
^AJ>VT D Ed M VM.
-cantis & multiplicandi, qua? prius appone¬
bantur: abbrevianda eft furama,quadran¬
guli arealis > &r tranfponendi fui calculi,
hoc modo : calculum arealem in angulo
communi inter i & i, tranfpone in mar¬
ginem i dextrorfum : calculum inter 2
& z, in numerum marginalem z dextror-
fiim* Pro calculo etiam inter 4 & 4, po¬
natur nnicus calculus in margine eodem
apud 4. Pro calculis autem inter 8 & $
auferendis * ponatur unicus calculus inter
16 & 16 in area: &jam iunc tres calcu¬
li in area inter 16 Se 16: pro quibus po¬
natur cakulus unicus in margine praefar®
apud 16, 8c alius in area inter p & %i:
qui, quia unicus Sc iolus in hac area eft, ia
marginem apud jz transferendus eft*
Supereft infuper calculus alius arealis
inter 64 Sc 64 3 quem fqtiia unicus eft) ia
marginem apud £4 transfero. Vltimo ,
inter rz8'& iz$, repentur calculus in
area, quem ( quia unicus eft) in marginem
juxta iz8 transfero. Et ita ex calculis mar¬
ginalibus iuxta 128, 04,3Z, 16,4, z, & 1
pofitis , habentur Z47 multiplum quatft-
tum, quod exduiftu 19 in 13 provenit* Ve¬
rum , hsec omnia facibus intelliguntur, per
calculos in abaco ampliore mobiles, quam
per hos in hoc alveolo impreffos St fixos :
ex iihs ergo difce.
140 Arithm. Localis,
^Almcl Exemplum .
Sint no^ (qua? literfs 1, h, f 3 e, c, b, .&
numeris 1024, 128, 32516,4,2, exprimun¬
tur) multiplicanda per. 604, quf literis k
g> e,d, c, & numeris 512, 64,16,8, 4, re.
teruntur, illis in dextro margine, his in (h
nitlro, calculis aut creta lignatis.
Deponuntur calculi in omnibus eorum
angulis communibus; ut in inferiore figu¬
ra quadrangulari perlpicitur. Remotis
igitur iam notis marginalibus, abbrcyian-
di & cranfponendifunt calculi areales mo-
biles ;n abaco Tuo vero (hic enim pieti mo-
\eri nequeunt) EoC modo; calculum uni¬
cum ai calem inter 8 & 8, tranfpone in
marginem dextrum apud 8. Pro calculis
duobus inter 16 3 c 16 pone unum calcu¬
lum in area inter 32 & 32,
Etiam funt tres calculi in area inter 32
pro quibus pone calculum unicum
in eodem margine apud 32, & alium in
area inter 64 & 64. Et iam funt tres cal.
culi areales inter <54 & 64 J pro quibus
pone unicum in margine apud 6 4, & alium
in area inter 128 & 128. Et iam habes
quatuor calculos areales inter 128 & 128;
pro quibus pone duos calculos areales in¬
ter 2 & 2 j < 4 , Et iam habes quinque cal¬
culos areales inter 1 $6 & 2561 pro quibus
pone unicum calculu marginalem luxta
2 5 ^. : &duos calculos areales inter 513 &
f l2 “ bc ita habes quatuor calculos areales
inter
C A p V T non V
r
*
—4]
i
4
4
—i
(
0
0
O
O
O
t
/
0
O
O
O
O
—it
O
O
O
O
O
1
O
O
O
O
O
i
O
O
O
O
O
X
-r— f
O
O
O
O
O
\
.
Q/S
/
inter' yi.i & ? ra J quibus remotis , pone
pro iis duos calculos arealcs inter 1014 8 c
1014« Et iam habes quinque calculos
areales inter 1014 & 1024 J P r0 q^bus
pone
1 4 z Afithm* Localis;
pone unicum marginalem juxta 1014, &
duos are ales inter 2048 & 2048, Et ita
habes quinque areales calculos inter 2048
& 2048 t quibus remotis, pone pro iis
unicum calculum marginalem juxta 2048,
&■ duos areales i ii ter 4096 & 401/6. Ec
ita habes tres calculos areales inter 4096
&: 4096 : pro quibus pone unicum
marginalem juxta 4 090, &t alium area leni
inter 8 192 & 8192. Er ita habes qua-
tuor calculos areales inter 8x92&8i92:
pro quibus pone duos calculos areales in¬
ter 16384 3c 16 ] 84 . Et ita habes
quatuor calculos areales inter 16384 &
16 3 84 : pro quibus pone duos areales in-
rer 32768 & 32768. Et habes duos
calculos areales inter 32768 & 32768:
pro quibus pone unicum arealem inter
df 53 d & 64436. Et habes in hacarea
inter hos numeros tres calculos areales:
pro quibus pone unicum marginalem ju»
ta 36 5 & alium arealem inter 13 1072
& 1 3 1072: hunc autem calculum arealem
(quia unicus efl) transfer ad marginem ju.
xta 131072 Vlrimo omnium re peries
calculum arealem inter 424288 &
£24288, quem transfer in marginem iux-
ta 424288* Atque itaex numeris cilcu-
ioru marginalium luxta 424288,1 310 72,
64436, 409 < 5 3 2048 , 1024, 246, 64,
3 2, & $ collectis in unum, habes 728424
pro multiplo qugfito, quod ex du&u 120 6
ia £04 provenit.
Hinc
141
C A P V T NON f-M*
Hinc [equitur , quod ex ftngplls qui-
htflibet calculis multiplicandi ductis iru
omnes calculos multiplicantis T aut contra^
proveniunt feries calculorum quas quadran¬
guli fegmenta appellatum,
Vt in exempli proxime fuperloris qua¬
drangulo , feries calculorum ab inferiore
& finifteriore k, motu elephantino alcen-
dentium , dicitur fegmen,tum illius qua¬
dranguli.
Sic feries calculorum fupra g afeenden¬
tium , dicitur aliud fegmentum eiufdem
qvvadranguli*
Simih modo feries tranfvfrfa calculo¬
rum, motu elephantino verfus 1 dextror-
fum progredientium, di unum ex Tegmen¬
tis ejufdem quadranguli.
Sic etiam feries quat tendititi h, & cg-
tere /imi l es.
Cap»
*4f
Arithm. Localis,
Capvt X.
De Divifione.
I AT Divifione Jagittifer a maximo calcu¬
lo dividendi motu aquali , & elephas a
maximo diviforis monflram communem
angulum , a quo feriet calculosum di¬
vi for i undique parallela procedens , dicitur
jegmentmn : congruum , fi minus fuerit di¬
videndo rehblo : alto quin proxime illi fub*
jlituta feries pro fegmento congruo capia¬
tur»
Vt mox per exempla in divifione pate¬
bit.
Divifia ergo fc fe habet: 'Humerum di¬
videndum calculis in alterutro margine fig-
nabis , divi for em autem (diftmhl tonis gra¬
tia ) notis in eodem , five in alio margine fig-
nabis. Inde horum fegmentum congruum tn
area conflitue: quo , vel cujus v alor e, ex di¬
videndo ablato. obferva calculos relibhts l k
quibus etiam dempto fuo fegmento congruo ,
notentur & ha reliquia ; k quibus iterum ,
atque iterum, auferantur fac cejfive fua feg-
menta congrua : donec tundem aut nihil rc-
Unquatnr^aut (altem numerus divifore mi-
Capvt decimvm. ' 145
nor i & hjcfeorfm pofim indic at novifii-
was reliquhu. Numeri autem laterales
alterius marginis , m ejms fmgula congrua
figmenta tendantyfimul additi, quotkntem
yerum tibi referent.
vt fint partienda 250 per 13» Poli¬
tis calculis in dextro margine iuxta 128»
64, 32, 16, 8, & 2 numeros , fignetur
250 dividendus*, politis autem in altero
margine inferiore & finirtro notis apud 8,
4, & 1, fignetur 13 divifor* Horum qu^
re primum fegmentum congruum hoc mo¬
do : Afcende ab 8 ! infimo per motum ele¬
phantis, & progredere ab 128 ad dex¬
tram pofito per motum fagittiferi; & k
communi utriufque angulo colloca feriem
calculorum divifori parallelam: harcin 16
dextrorfum tendit, fegmentum pri-
G mum
s, 4 ^ Arithm. Locaiis.
murn congruum: quod ex dividendo au<
fer,relinquitur calculus juxta 32, juxta, 8,
& juxta 2 pro primis reliquiis. Inter ho.
rum maximum 32 (motufagictiferi)& di-
viToris maximum 8 (motu elephantis) an-
gulus communis incidit in Xj & ita Tegmen»
tumdiviTorisdTetxV •**, utinfchemate!
fed quia hujus valor excedit didas reliqui,
as, ideo hoc Tegmento incongruo lpreto,
pro eo aflfumimus proxime fubftitutam Te-
riem calculorum, quse verfus 2 tendit: &
hi tres calculi funt congruum Tegmentum
<gx didis reliquiis auferendum, & tunc re¬
manebit pro fecundis reliquiis calculus iu-
xta 16» Inter quem calculum, & maxi¬
mam notam diviToris, queratur Tegmen¬
tum congruum; & illud tendet verTus 1:
funtque tres calculi, quorum valore Tub-
dudo ex unico illo calculo fecundarum re¬
liquiarum ,iuxta 16 a dextris pofito^ema¬
nent tandem pro tertiis & ultimis reli¬
quiis,calculus ad dextram iuxta 2, & alius
Juxta ij qu$ indicant tria pro noyiTsimis
reliquiis TeorTum pofitis*
Numeri autem dextri marginis, in quos
lingula congrua fegmenta tendunt(Tcilicec
1 6 , 2," j,)fimul additi,quotientem verum
^9 conftituunt.
Alivd Exbmpivm,
Sint dividenda 728424* p er
Politis calculis apud f24288, 131072,
3 6 , 4096, 2048 , 1024, 2$ 6 , 64,
32,83 delignetur numerus dividendus ia
dextro margine; & politis notis, aut Kte-
. m
C A P V T OSCIMVM, 147
ris iuxta numeros 1024, 128 5 32, 86*
4,2, in eodem (fi libet) margine nota*
bis diviforem 1206» Horum («t do¬
cuimus ) quaere fegmentutn congruum
G % primuajj
J48 Arithm. Localis.
primum, & id dire&e ftabic fapra nume¬
rum 512 , inferius & a finiftris pofituro:
cujus Tegmenti valor fubducatur ex divi¬
dendo, & remanent reliquia; obfervandse:
cx quibus aufer Tuum Tegmentum con¬
gruum, & remanebunt alias, atque ali se re¬
liquias, atque tandem nullas. Et quinque
incident in hoc opere Tegmenta congrua,
qiif diredle tendent in numeros inferius
pofitos 512,64, 16,8,4» qui additi con-
hituunt 604, quotientem fcilicec quasfi-
tum ; eodem modo i quo indicat Tchema
fecundi exempli multiplicationis, quod &
hic adje&um etiam accipe.
G jv. t> v T XI*
De excra&iofle quadrata.
C yllenius ijuam maximus in areola puti-
£H$ notata (ini er a & 4 ) depofitus y
€jin ex oblato mtmero cuius radix quadrata
est extrahenda, fubflrahi pojfit, dicitur ca -
put gnomonum [eu quadrati: quod per ipjos
gnomones eB augendum.
Cjnomon^ hoc loco dicitur feries calculo -
YUm, qua adiefla calculo am quadrato pro¬
dicit maius quadratum*
Vt ia
C i ? V T X I. 149
Vt uni calculo adjice tres, & fiunt qua~
tuor, qu ae quadratum funt 1°
hocfitu o I o vel hoc fitu "* [ vel 11-
JL o o
mni. -5 o
Huic quadrato quatuor caktnorum adjice
quinque, & fiunt novena 5 qua: quadratum
funt hoc fitu.
olo
o o
©l°l
O vel hoc 0 o'
? oj jO
_ vel hoc
o 00
000
o o
o o
o
€>
vel alio fimili ficu. Sic quadrato novem
calculorum adjiciendo tertium gnomo*
nem feptem calculorum fit quadratum fe-
decim calculorum. Et adjiciendo huic
quartum gnomonem novem calculorum,
fiunt 15. Et huic quintum gnomonem vn-
decirn calculorum 3 & fiunt 36. Et ita
fcmper deinceps crefcit minus quadratum
in majuSjgnomonum adje&ione.
CjnomorLj quam maximus qui ex calcu «
Us marginalibus reli&is fubjlrahi , & in lo¬
cum vacuum incidere poffit , dicitur con¬
gruus {rnomon *
O O
'Unde [equitur , quod conium gnomon
incidit fcmper m primo , aut fecundo loca
vacuo, qui calculo marginali maximo prox¬
ime fubfitmtur.
Hisprolibatis extraclio quadrata ftc ptr-
G | fci-
IfO AfUTHM. toCAIISfi
ficitur . Numerus cujus radix quadram
efl exttahenda ) cB per feuas partes fignandm
calculis in margine altervtro : deinde ah
hoc auferendus eBvalor calculi , quem caput
Gnomonum appellavimus , ipfo manente cal¬
culo : & qua fuperfeunt reliquia pro calculis
marginalibus primo rcltttis notentur # Hx his
primo rehBis aufer primum gnomonem tri¬
um calculorum qui congruus fuerit 3 ma¬
nente ipfo gnomone : & bine rehBi calculi
pro fecundis notentur* Sx hifce fecundis re¬
liquiis aufer futim fecundum gnomonem
congruum quinque calculorum , manente
femper gnomone: & qui hinc reflant calcu¬
li pro tertiis reliquiis notentur ♦ tA quibus
perinde aufer juurn tertium gnomonem cors -
gmum 3 & habebis quartas reliquias. Simi¬
li modo & quintas i & fextas , donec tandem
aut nulla fuerint reliquia, aut omni gnomo¬
ne minimo minores . Catert autem calculi
qui are ales funt, confeituunt integram qua¬
dratam figuram, a cujus fingulis ordinibus
deduUi calculi in marginem alterutrum,
radicem veram quafitam tndicant.
•3 i
•••v
l
Mxem-
€ A P ¥ T VNDICI M V M# I j? i
Sxemplum»
Sit extrahenda radix quadrata ex 123^
Numerum hunc fignabis calculis in mar¬
gine altero, ucpote dextro a iuxta numeros
1024 3 128, 64, 16,4, 2, ut in infe¬
riori Schemate, Deinde deponatur cal¬
culus in areola pungis notata quae vale®
1024, & caput Gnomonum eft{ quo ma¬
nente immoto, aufer ipfius valorem ex
dittis calculis marginalibus 9 & fuper-
v C 4
I£2T Arithm. Localis.
fune calculi apud 128, 64, 16 4,2, pro
reliquiis primis. Ex his primis aufer va-
lorem primi gnomonis congrui trium cal¬
culorum in area (ot vides ) depolitorum:
8c qui fuperfunt calculi pro (ecuridis reli¬
quiis notentur, quae incident juxta nume¬
ros 6 4, 16 , 2+ Ex hifce fecundis $ufer
fuum fecundum gnomonem congruum
quinque calculorum, ( manente tamen
gnomone in area ) & lupererunt calculi
juxta numeros 8,4, 1, qui additi faciunt
13 pro tertiis & ultimis reliquiis» A fin-
gulis autem trium huius quadrati ordi¬
num, dirigantur calculi in marginem alte¬
rum inferiorem , & hi iuxta numeros 3 2,
2,8? 1 incident, qui additi funt 35, radix
quadrata quam quaefivimus.
lAliud Exemplar»,
Sit extrahenda radix quadrata ex 22094
Humerus is conftituatur in margine alter¬
utro, v,g,dextro,calculis iuxta 2048:12.8,
32 , 8 ? 1 pofitis.Ab his aufer valorem calcu¬
li qui caput gnomonis eft 5 quod in areolam
pundtis notatam ioz4jincidit > & fuperfunt
prirn? reliquiae iuxta numeros 1024,128,
3 2,& I Hinc aufer valorem pri Aii gno¬
monis congrui in area depoliti, &fuper-
fuat fecundae reliqui^ iuxta numeros mar¬
ginales ?I 2, 64, 32,1. Ex his aufer va¬
lorem fecundi gnomonis congrui in area
depoliti, & fuperfunt tertias reliquiae iuxta
C A P V T v N D 1 c r M v M. ! | J
numeros marginales 2$6 s i6 f l. Ex his
tertiis alifer yalo.rcm fui tertii gnomonis
congrui, & provenient qtiartar reliquia in
margine iuxta numeros 64., 16,8, 4, 1.
Denique ex his quartis reliquiis aufer valo-
rem quarti gnomonis congrui, & nihil re¬
manebit pro noviffimis reliquiis. Radix
autem quaefita colligitur ex calculis quinq 5
lateralibus; quos finguV. huius quadrati or¬
dines in margine dirigunt : hi enim fune
iuxta numeros 32,8,4., 2 ,1 : qui additi
con-
'lf4 AfelTHM*LoCAL« Cap. XI,
conftituunt 47 radicem quxfitam, tit ri¬
dere eft in fchemate, quoad piftura pati¬
tur: motus etenim calculorum multo fa¬
cilius & certius in abaco maiore, & calcu¬
lis fuis mobilibus^ quam in bis prselo fixi»
& immobilibus intelligitur 5 tit fuperius
etiam admonuimus* Atque hic finem
Arithmetica Locali imponi¬
mus. DEO foli laus omnis
& honor tribuatur*
V l K / S.
*
• - -
OA Napier, John, 1550-1617«
75 Rabdologiae.
W27X Edinbvrgi, l6l7•
RB
MHT
mS?,n'? N 'NST/TUT.ON
L/BRAR/ES
3 BOaa 002R37Lr
i
The Dibner Library
of the History of
Science and Technology
SMITHSONIAN INSTITUTION LIBRARIES
Live Music
Archive
Librivox
Free Audio
Metropolitan Museum
Cleveland
Museum of Art
Internet
Arcade
Console Living Room
Open Library
American
Libraries
TV News
Understanding
9/11